Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103274 / 97879
↖ ↑ ↗
← S 66.043681°
E103.650513°		 ← 123.99 m → S 66.043681°
E103.653259°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.044796°
E103.650513°		 ← 123.98 m →
15 372 m²		 S 66.044796°
E103.653259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787921905517578 y=0.746761322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787921905517578 × 217)
    floor (0.787921905517578 × 131072)
    floor (103274.5)     		tx = 103274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746761322021484 × 217)
    floor (0.746761322021484 × 131072)
    floor (97879.5)     		ty = 97879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103274 / 97879 ti = "17/103274/97879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103274/97879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103274 ÷ 217
    103274 ÷ 131072     		x = 0.787918090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97879 ÷ 217
    97879 ÷ 131072     		y = 0.746757507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787918090820312 × 2 - 1) × π
    0.575836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.80904272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746757507324219 × 2 - 1) × π
    -0.493515014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55042314441148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80904272} λ = 1.80904272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55042314441148))-π/2
    2×atan(0.212158181281718)-π/2
    2×0.209058319883293-π/2
    0.418116639766585-1.57079632675     		φ = -1.15267969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80904272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.650513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15267969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.043681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103274 KachelY 97879 1.80904272 -1.15267969 103.650513 -66.043681
    Oben rechts KachelX + 1 103275 KachelY 97879 1.80909065 -1.15267969 103.653259 -66.043681
    Unten links KachelX 103274 KachelY + 1 97880 1.80904272 -1.15269915 103.650513 -66.044796
    Unten rechts KachelX + 1 103275 KachelY + 1 97880 1.80909065 -1.15269915 103.653259 -66.044796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15267969--1.15269915) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dl = 123.979659999109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15267969--1.15269915) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dr = 123.979659999109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80904272-1.80909065) × cos(-1.15267969) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.406040052788468 × 6371000     		do = 123.989214780295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80904272-1.80909065) × cos(-1.15269915) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.40602226908781 × 6371000     		du = 123.983784313361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15267969)-sin(-1.15269915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406040052788468-0.40602226908781)×R²
    abs(1.80909065-1.80904272)×1.77837006587467e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77837006587467e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77837006587467e-05×40589641000000     		ar = 15371.8040588028m²