Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103264 / 99042
↖ ↑ ↗
← S 67.308095°
E103.623047°		 ← 117.83 m → S 67.308095°
E103.625794°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
S 67.309154°
E103.623047°		 ← 117.82 m →
13 880 m²		 S 67.309154°
E103.625794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787845611572266 y=0.755634307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787845611572266 × 217)
    floor (0.787845611572266 × 131072)
    floor (103264.5)     		tx = 103264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755634307861328 × 217)
    floor (0.755634307861328 × 131072)
    floor (99042.5)     		ty = 99042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103264 / 99042 ti = "17/103264/99042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103264/99042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103264 ÷ 217
    103264 ÷ 131072     		x = 0.787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99042 ÷ 217
    99042 ÷ 131072     		y = 0.755630493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787841796875 × 2 - 1) × π
    0.57568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.80856335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755630493164062 × 2 - 1) × π
    -0.511260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6061737586696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80856335} λ = 1.80856335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6061737586696))-π/2
    2×atan(0.200653897383112)-π/2
    2×0.198024228196082-π/2
    0.396048456392165-1.57079632675     		φ = -1.17474787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80856335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17474787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.308095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103264 KachelY 99042 1.80856335 -1.17474787 103.623047 -67.308095
    Oben rechts KachelX + 1 103265 KachelY 99042 1.80861129 -1.17474787 103.625794 -67.308095
    Unten links KachelX 103264 KachelY + 1 99043 1.80856335 -1.17476636 103.623047 -67.309154
    Unten rechts KachelX + 1 103265 KachelY + 1 99043 1.80861129 -1.17476636 103.625794 -67.309154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17474787--1.17476636) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17474787--1.17476636) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80856335-1.80861129) × cos(-1.17474787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385775699148098 × 6371000     		do = 117.825828386248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80856335-1.80861129) × cos(-1.17476636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385758640344937 × 6371000     		du = 117.820618188669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17474787)-sin(-1.17476636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385775699148098-0.385758640344937)×R²
    abs(1.80861129-1.80856335)×1.70588031613295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70588031613295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70588031613295e-05×40589641000000     		ar = 13879.5509607136m²