Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103262 / 97850
↖ ↑ ↗
← S 66.011319°
E103.617554°		 ← 124.15 m → S 66.011319°
E103.620300°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.012436°
E103.617554°		 ← 124.14 m →
15 415 m²		 S 66.012436°
E103.620300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787830352783203 y=0.746540069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787830352783203 × 217)
    floor (0.787830352783203 × 131072)
    floor (103262.5)     		tx = 103262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746540069580078 × 217)
    floor (0.746540069580078 × 131072)
    floor (97850.5)     		ty = 97850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103262 / 97850 ti = "17/103262/97850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103262/97850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103262 ÷ 217
    103262 ÷ 131072     		x = 0.787826538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97850 ÷ 217
    97850 ÷ 131072     		y = 0.746536254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787826538085938 × 2 - 1) × π
    0.575653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.80846748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746536254882812 × 2 - 1) × π
    -0.493072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54903297432249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80846748} λ = 1.80846748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54903297432249))-π/2
    2×atan(0.212453322340072)-π/2
    2×0.209340731590285-π/2
    0.41868146318057-1.57079632675     		φ = -1.15211486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80846748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.617554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15211486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.011319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103262 KachelY 97850 1.80846748 -1.15211486 103.617554 -66.011319
    Oben rechts KachelX + 1 103263 KachelY 97850 1.80851541 -1.15211486 103.620300 -66.011319
    Unten links KachelX 103262 KachelY + 1 97851 1.80846748 -1.15213435 103.617554 -66.012436
    Unten rechts KachelX + 1 103263 KachelY + 1 97851 1.80851541 -1.15213435 103.620300 -66.012436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15211486--1.15213435) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dl = 124.170790000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15211486--1.15213435) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dr = 124.170790000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80846748-1.80851541) × cos(-1.15211486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406556160869602 × 6371000     		do = 124.146814592224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80846748-1.80851541) × cos(-1.15213435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406538354225697 × 6371000     		du = 124.141377119294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15211486)-sin(-1.15213435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406556160869602-0.406538354225697)×R²
    abs(1.80851541-1.80846748)×1.7806643904994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7806643904994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7806643904994e-05×40589641000000     		ar = 15415.0704569254m²