Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103261 / 99119
↖ ↑ ↗
← S 67.389543°
E103.614807°		 ← 117.43 m → S 67.389543°
E103.617554°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
S 67.390599°
E103.614807°		 ← 117.42 m →
13 787 m²		 S 67.390599°
E103.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787822723388672 y=0.756221771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787822723388672 × 217)
    floor (0.787822723388672 × 131072)
    floor (103261.5)     		tx = 103261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756221771240234 × 217)
    floor (0.756221771240234 × 131072)
    floor (99119.5)     		ty = 99119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103261 / 99119 ti = "17/103261/99119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103261/99119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103261 ÷ 217
    103261 ÷ 131072     		x = 0.787818908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99119 ÷ 217
    99119 ÷ 131072     		y = 0.756217956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787818908691406 × 2 - 1) × π
    0.575637817382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.80841954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756217956542969 × 2 - 1) × π
    -0.512435913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60986489994035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80841954} λ = 1.80841954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60986489994035))-π/2
    2×atan(0.199914620727989)-π/2
    2×0.197313463048254-π/2
    0.394626926096508-1.57079632675     		φ = -1.17616940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80841954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.614807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17616940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.389543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103261 KachelY 99119 1.80841954 -1.17616940 103.614807 -67.389543
    Oben rechts KachelX + 1 103262 KachelY 99119 1.80846748 -1.17616940 103.617554 -67.389543
    Unten links KachelX 103261 KachelY + 1 99120 1.80841954 -1.17618783 103.614807 -67.390599
    Unten rechts KachelX + 1 103262 KachelY + 1 99120 1.80846748 -1.17618783 103.617554 -67.390599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17616940--1.17618783) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dl = 117.41752999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17616940--1.17618783) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dr = 117.41752999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80841954-1.80846748) × cos(-1.17616940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384463816750169 × 6371000     		do = 117.425145734068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80841954-1.80846748) × cos(-1.17618783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384446803213538 × 6371000     		du = 117.419949362052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17616940)-sin(-1.17618783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384463816750169-0.384446803213538)×R²
    abs(1.80846748-1.80841954)×1.70135366314716e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70135366314716e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70135366314716e-05×40589641000000     		ar = 13787.465499841m²