Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103246 / 99184
↖ ↑ ↗
← S 67.458082°
E103.573608°		 ← 117.09 m → S 67.458082°
E103.576355°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.459135°
E103.573608°		 ← 117.08 m →
13 711 m²		 S 67.459135°
E103.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787708282470703 y=0.756717681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787708282470703 × 217)
    floor (0.787708282470703 × 131072)
    floor (103246.5)     		tx = 103246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756717681884766 × 217)
    floor (0.756717681884766 × 131072)
    floor (99184.5)     		ty = 99184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103246 / 99184 ti = "17/103246/99184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103246/99184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103246 ÷ 217
    103246 ÷ 131072     		x = 0.787704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99184 ÷ 217
    99184 ÷ 131072     		y = 0.7567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787704467773438 × 2 - 1) × π
    0.575408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.80770048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61298079841565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80770048} λ = 1.80770048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61298079841565))-π/2
    2×atan(0.199292676526762)-π/2
    2×0.19671534870564-π/2
    0.39343069741128-1.57079632675     		φ = -1.17736563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80770048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.573608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17736563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.458082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103246 KachelY 99184 1.80770048 -1.17736563 103.573608 -67.458082
    Oben rechts KachelX + 1 103247 KachelY 99184 1.80774842 -1.17736563 103.576355 -67.458082
    Unten links KachelX 103246 KachelY + 1 99185 1.80770048 -1.17738401 103.573608 -67.459135
    Unten rechts KachelX + 1 103247 KachelY + 1 99185 1.80774842 -1.17738401 103.576355 -67.459135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17736563--1.17738401) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17736563--1.17738401) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80770048-1.80774842) × cos(-1.17736563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383359254100134 × 6371000     		do = 117.087783869305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80770048-1.80774842) × cos(-1.17738401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383342278280094 × 6371000     		du = 117.082599016907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17736563)-sin(-1.17738401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383359254100134-0.383342278280094)×R²
    abs(1.80774842-1.80770048)×1.69758200396219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69758200396219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69758200396219e-05×40589641000000     		ar = 13710.5564915077m²