Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10324 / 2532
↖ ↑ ↗
← N 76.980149°
E 46.845703°		 ← 550.44 m → N 76.980149°
E 46.867676°		 →
↑
550.52 m
↓
↑
550.52 m
↓
N 76.975198°
E 46.845703°		 ← 550.65 m →
303 085 m²		 N 76.975198°
E 46.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630157470703125 y=0.154571533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630157470703125 × 214)
    floor (0.630157470703125 × 16384)
    floor (10324.5)     		tx = 10324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154571533203125 × 214)
    floor (0.154571533203125 × 16384)
    floor (2532.5)     		ty = 2532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10324 / 2532 ti = "14/10324/2532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10324/2532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10324 ÷ 214
    10324 ÷ 16384     		x = 0.630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2532 ÷ 214
    2532 ÷ 16384     		y = 0.154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    0.26025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81761176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154541015625 × 2 - 1) × π
    0.69091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81761176} λ = 0.81761176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17058281479614))-π/2
    2×atan(8.7633899860343)-π/2
    2×1.45717669406029-π/2
    2.91435338812058-1.57079632675     		φ = 1.34355706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81761176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34355706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.980149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10324 KachelY 2532 0.81761176 1.34355706 46.845703 76.980149
    Oben rechts KachelX + 1 10325 KachelY 2532 0.81799526 1.34355706 46.867676 76.980149
    Unten links KachelX 10324 KachelY + 1 2533 0.81761176 1.34347065 46.845703 76.975198
    Unten rechts KachelX + 1 10325 KachelY + 1 2533 0.81799526 1.34347065 46.867676 76.975198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34355706-1.34347065) × R
    8.64099999999812e-05 × 6371000     		dl = 550.51810999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34355706-1.34347065) × R
    8.64099999999812e-05 × 6371000     		dr = 550.51810999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81761176-0.81799526) × cos(1.34355706) × R
    0.000383499999999981 × 0.225288625020696 × 6371000     		do = 550.442853807601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81761176-0.81799526) × cos(1.34347065) × R
    0.000383499999999981 × 0.225372812757181 × 6371000     		du = 550.648547894119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34355706)-sin(1.34347065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225288625020696-0.225372812757181)×R²
    abs(0.81799526-0.81761176)×8.4187736485164e-05×R²
    0.000383499999999981×8.4187736485164e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.4187736485164e-05×40589641000000     		ar = 303085.378890541m²