Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103239 / 97817
↖ ↑ ↗
← S 65.974443°
E103.554383°		 ← 124.33 m → S 65.974443°
E103.557129°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.975562°
E103.554383°		 ← 124.32 m →
15 461 m²		 S 65.975562°
E103.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787654876708984 y=0.746288299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787654876708984 × 217)
    floor (0.787654876708984 × 131072)
    floor (103239.5)     		tx = 103239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746288299560547 × 217)
    floor (0.746288299560547 × 131072)
    floor (97817.5)     		ty = 97817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103239 / 97817 ti = "17/103239/97817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103239/97817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103239 ÷ 217
    103239 ÷ 131072     		x = 0.787651062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97817 ÷ 217
    97817 ÷ 131072     		y = 0.746284484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787651062011719 × 2 - 1) × π
    0.575302124023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.80736493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746284484863281 × 2 - 1) × π
    -0.492568969726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54745105663503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80736493} λ = 1.80736493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54745105663503))-π/2
    2×atan(0.21278967197702)-π/2
    2×0.209662533247257-π/2
    0.419325066494513-1.57079632675     		φ = -1.15147126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80736493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.554383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15147126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.974443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103239 KachelY 97817 1.80736493 -1.15147126 103.554383 -65.974443
    Oben rechts KachelX + 1 103240 KachelY 97817 1.80741286 -1.15147126 103.557129 -65.974443
    Unten links KachelX 103239 KachelY + 1 97818 1.80736493 -1.15149078 103.554383 -65.975562
    Unten rechts KachelX + 1 103240 KachelY + 1 97818 1.80741286 -1.15149078 103.557129 -65.975562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15147126--1.15149078) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15147126--1.15149078) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80736493-1.80741286) × cos(-1.15147126) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.407144086186789 × 6371000     		do = 124.326344659993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80736493-1.80741286) × cos(-1.15149078) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.407126257245048 × 6371000     		du = 124.32090037815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15147126)-sin(-1.15149078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407144086186789-0.407126257245048)×R²
    abs(1.80741286-1.80736493)×1.7828941740905e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.7828941740905e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.7828941740905e-05×40589641000000     		ar = 15461.1243982924m²