Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103236 / 97821
↖ ↑ ↗
← S 65.978916°
E103.546143°		 ← 124.30 m → S 65.978916°
E103.548889°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.980034°
E103.546143°		 ← 124.30 m →
15 458 m²		 S 65.980034°
E103.548889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787631988525391 y=0.746318817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787631988525391 × 217)
    floor (0.787631988525391 × 131072)
    floor (103236.5)     		tx = 103236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746318817138672 × 217)
    floor (0.746318817138672 × 131072)
    floor (97821.5)     		ty = 97821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103236 / 97821 ti = "17/103236/97821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103236/97821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103236 ÷ 217
    103236 ÷ 131072     		x = 0.787628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97821 ÷ 217
    97821 ÷ 131072     		y = 0.746315002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787628173828125 × 2 - 1) × π
    0.57525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.80722112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746315002441406 × 2 - 1) × π
    -0.492630004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54764280423351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80722112} λ = 1.80722112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54764280423351))-π/2
    2×atan(0.212748873980021)-π/2
    2×0.209623502214898-π/2
    0.419247004429796-1.57079632675     		φ = -1.15154932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80722112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15154932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.978916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103236 KachelY 97821 1.80722112 -1.15154932 103.546143 -65.978916
    Oben rechts KachelX + 1 103237 KachelY 97821 1.80726905 -1.15154932 103.548889 -65.978916
    Unten links KachelX 103236 KachelY + 1 97822 1.80722112 -1.15156884 103.546143 -65.980034
    Unten rechts KachelX + 1 103237 KachelY + 1 97822 1.80726905 -1.15156884 103.548889 -65.980034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15154932--1.15156884) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15154932--1.15156884) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80722112-1.80726905) × cos(-1.15154932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407072787757002 × 6371000     		do = 124.304572827313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80722112-1.80726905) × cos(-1.15156884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407054958194951 × 6371000     		du = 124.299128356051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15154932)-sin(-1.15156884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407072787757002-0.407054958194951)×R²
    abs(1.80726905-1.80722112)×1.78295620511526e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78295620511526e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78295620511526e-05×40589641000000     		ar = 15458.4167996446m²