Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103232 / 99776
↖ ↑ ↗
← S 68.073305°
E103.535156°		 ← 114.03 m → S 68.073305°
E103.537903°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.074330°
E103.535156°		 ← 114.02 m →
13 004 m²		 S 68.074330°
E103.537903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787601470947266 y=0.761234283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787601470947266 × 217)
    floor (0.787601470947266 × 131072)
    floor (103232.5)     		tx = 103232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761234283447266 × 217)
    floor (0.761234283447266 × 131072)
    floor (99776.5)     		ty = 99776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103232 / 99776 ti = "17/103232/99776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103232/99776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103232 ÷ 217
    103232 ÷ 131072     		x = 0.78759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99776 ÷ 217
    99776 ÷ 131072     		y = 0.76123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    0.5751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.80702937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76123046875 × 2 - 1) × π
    -0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80702937} λ = 1.80702937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64135944299072))-π/2
    2×atan(0.193716516646689)-π/2
    2×0.19134651318608-π/2
    0.38269302637216-1.57079632675     		φ = -1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80702937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103232 KachelY 99776 1.80702937 -1.18810330 103.535156 -68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 103233 KachelY 99776 1.80707730 -1.18810330 103.537903 -68.073305
    Unten links KachelX 103232 KachelY + 1 99777 1.80702937 -1.18812120 103.535156 -68.074330
    Unten rechts KachelX + 1 103233 KachelY + 1 99777 1.80707730 -1.18812120 103.537903 -68.074330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18810330--1.18812120) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18810330--1.18812120) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80702937-1.80707730) × cos(-1.18810330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 114.028301489937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80702937-1.80707730) × cos(-1.18812120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373403434891114 × 6371000     		du = 114.023230887393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18810330)-sin(-1.18812120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373403434891114)×R²
    abs(1.80707730-1.80702937)×1.66052162548502e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66052162548502e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66052162548502e-05×40589641000000     		ar = 13003.6009996704m²