Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10323 / 1824
↖ ↑ ↗
← N 80.058050°
E 46.823730°		 ← 421.83 m → N 80.058050°
E 46.845703°		 →
↑
421.95 m
↓
↑
421.95 m
↓
N 80.054255°
E 46.823730°		 ← 421.99 m →
178 027 m²		 N 80.054255°
E 46.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630096435546875 y=0.111358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630096435546875 × 214)
    floor (0.630096435546875 × 16384)
    floor (10323.5)     		tx = 10323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111358642578125 × 214)
    floor (0.111358642578125 × 16384)
    floor (1824.5)     		ty = 1824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10323 / 1824 ti = "14/10323/1824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10323/1824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10323 ÷ 214
    10323 ÷ 16384     		x = 0.63006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1824 ÷ 214
    1824 ÷ 16384     		y = 0.111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    0.2601318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81722826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111328125 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81722826} λ = 0.81722826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44209741424414))-π/2
    2×atan(11.4971297153185)-π/2
    2×1.48403644218364-π/2
    2.96807288436728-1.57079632675     		φ = 1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81722826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10323 KachelY 1824 0.81722826 1.39727656 46.823730 80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 10324 KachelY 1824 0.81761176 1.39727656 46.845703 80.058050
    Unten links KachelX 10323 KachelY + 1 1825 0.81722826 1.39721033 46.823730 80.054255
    Unten rechts KachelX + 1 10324 KachelY + 1 1825 0.81761176 1.39721033 46.845703 80.054255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39727656-1.39721033) × R
    6.62299999998339e-05 × 6371000     		dl = 421.951329998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39727656-1.39721033) × R
    6.62299999998339e-05 × 6371000     		dr = 421.951329998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81722826-0.81761176) × cos(1.39727656) × R
    0.000383499999999981 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 421.832820888879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81722826-0.81761176) × cos(1.39721033) × R
    0.000383499999999981 × 0.172715557519114 × 6371000     		du = 421.992208301945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39727656)-sin(1.39721033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172715557519114)×R²
    abs(0.81761176-0.81722826)×6.52350573484839e-05×R²
    0.000383499999999981×6.52350573484839e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.52350573484839e-05×40589641000000     		ar = 178026.546741532m²