Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103221 / 97837
↖ ↑ ↗
← S 65.996799°
E103.504944°		 ← 124.24 m → S 65.996799°
E103.507690°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 65.997916°
E103.504944°		 ← 124.24 m →
15 435 m²		 S 65.997916°
E103.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787517547607422 y=0.746440887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787517547607422 × 217)
    floor (0.787517547607422 × 131072)
    floor (103221.5)     		tx = 103221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746440887451172 × 217)
    floor (0.746440887451172 × 131072)
    floor (97837.5)     		ty = 97837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103221 / 97837 ti = "17/103221/97837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103221/97837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103221 ÷ 217
    103221 ÷ 131072     		x = 0.787513732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97837 ÷ 217
    97837 ÷ 131072     		y = 0.746437072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787513732910156 × 2 - 1) × π
    0.575027465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.80650206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746437072753906 × 2 - 1) × π
    -0.492874145507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54840979462743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80650206} λ = 1.80650206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54840979462743))-π/2
    2×atan(0.212585760198709)-π/2
    2×0.209467446429395-π/2
    0.41893489285879-1.57079632675     		φ = -1.15186143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80650206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.504944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15186143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.996799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103221 KachelY 97837 1.80650206 -1.15186143 103.504944 -65.996799
    Oben rechts KachelX + 1 103222 KachelY 97837 1.80655000 -1.15186143 103.507690 -65.996799
    Unten links KachelX 103221 KachelY + 1 97838 1.80650206 -1.15188093 103.504944 -65.997916
    Unten rechts KachelX + 1 103222 KachelY + 1 97838 1.80655000 -1.15188093 103.507690 -65.997916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15186143--1.15188093) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dl = 124.234499998975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15186143--1.15188093) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dr = 124.234499998975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80650206-1.80655000) × cos(-1.15186143) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406787687995731 × 6371000     		do = 124.243430629479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80650206-1.80655000) × cos(-1.15188093) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406769874225171 × 6371000     		du = 124.237989845424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15186143)-sin(-1.15188093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406787687995731-0.406769874225171)×R²
    abs(1.80655000-1.80650206)×1.78137705600379e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78137705600379e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78137705600379e-05×40589641000000     		ar = 15434.9825163795m²