Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10322 / 2375
↖ ↑ ↗
← N 77.734951°
E 46.801758°		 ← 519.02 m → N 77.734951°
E 46.823730°		 →
↑
519.11 m
↓
↑
519.11 m
↓
N 77.730283°
E 46.801758°		 ← 519.22 m →
269 480 m²		 N 77.730283°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630035400390625 y=0.144989013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630035400390625 × 214)
    floor (0.630035400390625 × 16384)
    floor (10322.5)     		tx = 10322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144989013671875 × 214)
    floor (0.144989013671875 × 16384)
    floor (2375.5)     		ty = 2375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10322 / 2375 ti = "14/10322/2375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10322/2375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10322 ÷ 214
    10322 ÷ 16384     		x = 0.6300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2375 ÷ 214
    2375 ÷ 16384     		y = 0.14495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81684477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14495849609375 × 2 - 1) × π
    0.7100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23079156071893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81684477} λ = 0.81684477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23079156071893))-π/2
    2×atan(9.30723040243331)-π/2
    2×1.46376358258964-π/2
    2.92752716517927-1.57079632675     		φ = 1.35673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81684477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.734951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10322 KachelY 2375 0.81684477 1.35673084 46.801758 77.734951
    Oben rechts KachelX + 1 10323 KachelY 2375 0.81722826 1.35673084 46.823730 77.734951
    Unten links KachelX 10322 KachelY + 1 2376 0.81684477 1.35664936 46.801758 77.730283
    Unten rechts KachelX + 1 10323 KachelY + 1 2376 0.81722826 1.35664936 46.823730 77.730283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35673084-1.35664936) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dl = 519.109079999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35673084-1.35664936) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dr = 519.109079999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81684477-0.81722826) × cos(1.35673084) × R
    0.000383490000000042 × 0.21243433793247 × 6371000     		do = 519.022716340526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81684477-0.81722826) × cos(1.35664936) × R
    0.000383490000000042 × 0.212513957474201 × 6371000     		du = 519.217243982455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35673084)-sin(1.35664936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21243433793247-0.212513957474201)×R²
    abs(0.81722826-0.81684477)×7.96195417306078e-05×R²
    0.000383490000000042×7.96195417306078e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.96195417306078e-05×40589641000000     		ar = 269479.895459545m²