Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10322 / 1834
↖ ↑ ↗
← N 80.020042°
E 46.801758°		 ← 423.42 m → N 80.020042°
E 46.823730°		 →
↑
423.48 m
↓
↑
423.48 m
↓
N 80.016234°
E 46.801758°		 ← 423.58 m →
179 343 m²		 N 80.016234°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630035400390625 y=0.111968994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630035400390625 × 214)
    floor (0.630035400390625 × 16384)
    floor (10322.5)     		tx = 10322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111968994140625 × 214)
    floor (0.111968994140625 × 16384)
    floor (1834.5)     		ty = 1834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10322 / 1834 ti = "14/10322/1834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10322/1834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10322 ÷ 214
    10322 ÷ 16384     		x = 0.6300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1834 ÷ 214
    1834 ÷ 16384     		y = 0.1119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81684477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1119384765625 × 2 - 1) × π
    0.776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43826246227454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81684477} λ = 0.81684477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43826246227454))-π/2
    2×atan(11.4531232104214)-π/2
    2×1.48370476331483-π/2
    2.96740952662965-1.57079632675     		φ = 1.39661320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81684477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39661320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.020042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10322 KachelY 1834 0.81684477 1.39661320 46.801758 80.020042
    Oben rechts KachelX + 1 10323 KachelY 1834 0.81722826 1.39661320 46.823730 80.020042
    Unten links KachelX 10322 KachelY + 1 1835 0.81684477 1.39654673 46.801758 80.016234
    Unten rechts KachelX + 1 10323 KachelY + 1 1835 0.81722826 1.39654673 46.823730 80.016234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39661320-1.39654673) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dl = 423.480369999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39661320-1.39654673) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dr = 423.480369999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81684477-0.81722826) × cos(1.39661320) × R
    0.000383490000000042 × 0.173303682869475 × 6371000     		do = 423.418121148217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81684477-0.81722826) × cos(1.39654673) × R
    0.000383490000000042 × 0.173369146691425 × 6371000     		du = 423.578063326216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39661320)-sin(1.39654673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173303682869475-0.173369146691425)×R²
    abs(0.81722826-0.81684477)×6.54638219502457e-05×R²
    0.000383490000000042×6.54638219502457e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.54638219502457e-05×40589641000000     		ar = 179343.128861944m²