Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103212 / 97829
↖ ↑ ↗
← S 65.987859°
E103.480225°		 ← 124.29 m → S 65.987859°
E103.482971°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 65.988977°
E103.480225°		 ← 124.28 m →
15 440 m²		 S 65.988977°
E103.482971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787448883056641 y=0.746379852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787448883056641 × 217)
    floor (0.787448883056641 × 131072)
    floor (103212.5)     		tx = 103212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746379852294922 × 217)
    floor (0.746379852294922 × 131072)
    floor (97829.5)     		ty = 97829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103212 / 97829 ti = "17/103212/97829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103212/97829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103212 ÷ 217
    103212 ÷ 131072     		x = 0.787445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97829 ÷ 217
    97829 ÷ 131072     		y = 0.746376037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787445068359375 × 2 - 1) × π
    0.57489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.80607063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746376037597656 × 2 - 1) × π
    -0.492752075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54802629943047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80607063} λ = 1.80607063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54802629943047))-π/2
    2×atan(0.212667301451027)-π/2
    2×0.209545460655279-π/2
    0.419090921310558-1.57079632675     		φ = -1.15170541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80607063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.480225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15170541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.987859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103212 KachelY 97829 1.80607063 -1.15170541 103.480225 -65.987859
    Oben rechts KachelX + 1 103213 KachelY 97829 1.80611857 -1.15170541 103.482971 -65.987859
    Unten links KachelX 103212 KachelY + 1 97830 1.80607063 -1.15172491 103.480225 -65.988977
    Unten rechts KachelX + 1 103213 KachelY + 1 97830 1.80611857 -1.15172491 103.482971 -65.988977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15170541--1.15172491) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dl = 124.234500000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15170541--1.15172491) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dr = 124.234500000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80607063-1.80611857) × cos(-1.15170541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406930210860312 × 6371000     		do = 124.286960780285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80607063-1.80611857) × cos(-1.15172491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406912398327549 × 6371000     		du = 124.281520374285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15170541)-sin(-1.15172491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406930210860312-0.406912398327549)×R²
    abs(1.80611857-1.80607063)×1.7812532763728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7812532763728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7812532763728e-05×40589641000000     		ar = 15440.390486475m²