Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10320 / 2378
↖ ↑ ↗
← N 77.720940°
E 46.757813°		 ← 519.61 m → N 77.720940°
E 46.779785°		 →
↑
519.75 m
↓
↑
519.75 m
↓
N 77.716266°
E 46.757813°		 ← 519.80 m →
270 114 m²		 N 77.716266°
E 46.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629913330078125 y=0.145172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629913330078125 × 214)
    floor (0.629913330078125 × 16384)
    floor (10320.5)     		tx = 10320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145172119140625 × 214)
    floor (0.145172119140625 × 16384)
    floor (2378.5)     		ty = 2378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10320 / 2378 ti = "14/10320/2378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10320/2378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10320 ÷ 214
    10320 ÷ 16384     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2378 ÷ 214
    2378 ÷ 16384     		y = 0.1451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    0.709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22964107512805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22964107512805))-π/2
    2×atan(9.29652872520743)-π/2
    2×1.46364131255084-π/2
    2.92728262510167-1.57079632675     		φ = 1.35648630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35648630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.720940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10320 KachelY 2378 0.81607778 1.35648630 46.757813 77.720940
    Oben rechts KachelX + 1 10321 KachelY 2378 0.81646127 1.35648630 46.779785 77.720940
    Unten links KachelX 10320 KachelY + 1 2379 0.81607778 1.35640472 46.757813 77.716266
    Unten rechts KachelX + 1 10321 KachelY + 1 2379 0.81646127 1.35640472 46.779785 77.716266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35648630-1.35640472) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dl = 519.746180000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35648630-1.35640472) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dr = 519.746180000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(1.35648630) × R
    0.000383490000000042 × 0.212673290036837 × 6371000     		do = 519.606527656016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(1.35640472) × R
    0.000383490000000042 × 0.212753003053216 × 6371000     		du = 519.80128367659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35648630)-sin(1.35640472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212673290036837-0.212753003053216)×R²
    abs(0.81646127-0.81607778)×7.97130163796844e-05×R²
    0.000383490000000042×7.97130163796844e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.97130163796844e-05×40589641000000     		ar = 270114.119849983m²