Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10320 / 2373
↖ ↑ ↗
← N 77.744283°
E 46.757813°		 ← 518.63 m → N 77.744283°
E 46.779785°		 →
↑
518.73 m
↓
↑
518.73 m
↓
N 77.739618°
E 46.757813°		 ← 518.83 m →
269 080 m²		 N 77.739618°
E 46.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629913330078125 y=0.144866943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629913330078125 × 214)
    floor (0.629913330078125 × 16384)
    floor (10320.5)     		tx = 10320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144866943359375 × 214)
    floor (0.144866943359375 × 16384)
    floor (2373.5)     		ty = 2373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10320 / 2373 ti = "14/10320/2373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10320/2373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10320 ÷ 214
    10320 ÷ 16384     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2373 ÷ 214
    2373 ÷ 16384     		y = 0.14483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14483642578125 × 2 - 1) × π
    0.7103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23155855111285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23155855111285))-π/2
    2×atan(9.31437169704808)-π/2
    2×1.46384501961646-π/2
    2.92769003923292-1.57079632675     		φ = 1.35689371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35689371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.744283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10320 KachelY 2373 0.81607778 1.35689371 46.757813 77.744283
    Oben rechts KachelX + 1 10321 KachelY 2373 0.81646127 1.35689371 46.779785 77.744283
    Unten links KachelX 10320 KachelY + 1 2374 0.81607778 1.35681229 46.757813 77.739618
    Unten rechts KachelX + 1 10321 KachelY + 1 2374 0.81646127 1.35681229 46.779785 77.739618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35689371-1.35681229) × R
    8.14200000001097e-05 × 6371000     		dl = 518.726820000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35689371-1.35681229) × R
    8.14200000001097e-05 × 6371000     		dr = 518.726820000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(1.35689371) × R
    0.000383490000000042 × 0.212275182567383 × 6371000     		do = 518.633865598638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(1.35681229) × R
    0.000383490000000042 × 0.21235474629617 × 6371000     		du = 518.828256877556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35689371)-sin(1.35681229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212275182567383-0.21235474629617)×R²
    abs(0.81646127-0.81607778)×7.9563728786064e-05×R²
    0.000383490000000042×7.9563728786064e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.9563728786064e-05×40589641000000     		ar = 269079.713979937m²