Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1032 / 552
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
E  1.406250°		 ← 8 706.54 m → N 63.548552°
E  1.582031°		 →
↑
8 718.52 m
↓
↑
8 718.52 m
↓
N 63.470145°
E  1.406250°		 ← 8 730.48 m →
76 012 574 m²		 N 63.470145°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504150390625 y=0.269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504150390625 × 211)
    floor (0.504150390625 × 2048)
    floor (1032.5)     		tx = 1032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269775390625 × 211)
    floor (0.269775390625 × 2048)
    floor (552.5)     		ty = 552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1032 / 552 ti = "11/1032/552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1032/552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1032 ÷ 211
    1032 ÷ 2048     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 552 ÷ 211
    552 ÷ 2048     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1032 KachelY 552 0.02454369 1.10913147 1.406250 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 1033 KachelY 552 0.02761165 1.10913147 1.582031 63.548552
    Unten links KachelX 1032 KachelY + 1 553 0.02454369 1.10776300 1.406250 63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 1033 KachelY + 1 553 0.02761165 1.10776300 1.582031 63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10776300) × R
    0.00136846999999984 × 6371000     		dl = 8718.52236999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10776300) × R
    0.00136846999999984 × 6371000     		dr = 8718.52236999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02761165) × cos(1.10913147) × R
    0.00306796 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 8706.54440888841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02761165) × cos(1.10776300) × R
    0.00306796 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 8730.48412801618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.446664080450225)×R²
    abs(0.02761165-0.02454369)×0.00122479034079342×R²
    0.00306796×0.00122479034079342×6371000²
    0.00306796×0.00122479034079342×40589641000000     		ar = 76012573.5451079m²