Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10319 / 2377
↖ ↑ ↗
← N 77.725612°
E 46.735840°		 ← 519.43 m → N 77.725612°
E 46.757813°		 →
↑
519.49 m
↓
↑
519.49 m
↓
N 77.720940°
E 46.735840°		 ← 519.62 m →
269 888 m²		 N 77.720940°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629852294921875 y=0.145111083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629852294921875 × 214)
    floor (0.629852294921875 × 16384)
    floor (10319.5)     		tx = 10319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145111083984375 × 214)
    floor (0.145111083984375 × 16384)
    floor (2377.5)     		ty = 2377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10319 / 2377 ti = "14/10319/2377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10319/2377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10319 ÷ 214
    10319 ÷ 16384     		x = 0.62982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2377 ÷ 214
    2377 ÷ 16384     		y = 0.14508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62982177734375 × 2 - 1) × π
    0.2596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81569428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14508056640625 × 2 - 1) × π
    0.7098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23002457032501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81569428} λ = 0.81569428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23002457032501))-π/2
    2×atan(9.30009458302292)-π/2
    2×1.46368208450418-π/2
    2.92736416900836-1.57079632675     		φ = 1.35656784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81569428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35656784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.725612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10319 KachelY 2377 0.81569428 1.35656784 46.735840 77.725612
    Oben rechts KachelX + 1 10320 KachelY 2377 0.81607778 1.35656784 46.757813 77.725612
    Unten links KachelX 10319 KachelY + 1 2378 0.81569428 1.35648630 46.735840 77.720940
    Unten rechts KachelX + 1 10320 KachelY + 1 2378 0.81607778 1.35648630 46.757813 77.720940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35656784-1.35648630) × R
    8.15400000000466e-05 × 6371000     		dl = 519.491340000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35656784-1.35648630) × R
    8.15400000000466e-05 × 6371000     		dr = 519.491340000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81569428-0.81607778) × cos(1.35656784) × R
    0.000383499999999981 × 0.212593614690682 × 6371000     		do = 519.425408011001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81569428-0.81607778) × cos(1.35648630) × R
    0.000383499999999981 × 0.212673290036837 × 6371000     		du = 519.620077071242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35656784)-sin(1.35648630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212593614690682-0.212673290036837)×R²
    abs(0.81607778-0.81569428)×7.96753461551614e-05×R²
    0.000383499999999981×7.96753461551614e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.96753461551614e-05×40589641000000     		ar = 269887.565834291m²