Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10319 / 1833
↖ ↑ ↗
← N 80.023849°
E 46.735840°		 ← 423.27 m → N 80.023849°
E 46.757813°		 →
↑
423.35 m
↓
↑
423.35 m
↓
N 80.020042°
E 46.735840°		 ← 423.43 m →
179 226 m²		 N 80.020042°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629852294921875 y=0.111907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629852294921875 × 214)
    floor (0.629852294921875 × 16384)
    floor (10319.5)     		tx = 10319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111907958984375 × 214)
    floor (0.111907958984375 × 16384)
    floor (1833.5)     		ty = 1833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10319 / 1833 ti = "14/10319/1833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10319/1833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10319 ÷ 214
    10319 ÷ 16384     		x = 0.62982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1833 ÷ 214
    1833 ÷ 16384     		y = 0.11187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62982177734375 × 2 - 1) × π
    0.2596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81569428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11187744140625 × 2 - 1) × π
    0.7762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4386459574715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81569428} λ = 0.81569428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4386459574715))-π/2
    2×atan(11.4575162704676)-π/2
    2×1.48373798760516-π/2
    2.96747597521031-1.57079632675     		φ = 1.39667965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81569428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39667965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.023849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10319 KachelY 1833 0.81569428 1.39667965 46.735840 80.023849
    Oben rechts KachelX + 1 10320 KachelY 1833 0.81607778 1.39667965 46.757813 80.023849
    Unten links KachelX 10319 KachelY + 1 1834 0.81569428 1.39661320 46.735840 80.020042
    Unten rechts KachelX + 1 10320 KachelY + 1 1834 0.81607778 1.39661320 46.757813 80.020042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39667965-1.39661320) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dl = 423.352950000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39667965-1.39661320) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dr = 423.352950000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81569428-0.81607778) × cos(1.39667965) × R
    0.000383499999999981 × 0.173238237979423 × 6371000     		do = 423.269262232986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81569428-0.81607778) × cos(1.39661320) × R
    0.000383499999999981 × 0.173303682869475 × 6371000     		du = 423.429162325785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39667965)-sin(1.39661320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173238237979423-0.173303682869475)×R²
    abs(0.81607778-0.81569428)×6.54448900522242e-05×R²
    0.000383499999999981×6.54448900522242e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.54448900522242e-05×40589641000000     		ar = 179226.137963733m²