Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103174 / 97543
↖ ↑ ↗
← S 65.666198°
E103.375855°		 ← 125.83 m → S 65.666198°
E103.378601°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.667329°
E103.375855°		 ← 125.82 m →
15 832 m²		 S 65.667329°
E103.378601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787158966064453 y=0.744197845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787158966064453 × 217)
    floor (0.787158966064453 × 131072)
    floor (103174.5)     		tx = 103174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744197845458984 × 217)
    floor (0.744197845458984 × 131072)
    floor (97543.5)     		ty = 97543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103174 / 97543 ti = "17/103174/97543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103174/97543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103174 ÷ 217
    103174 ÷ 131072     		x = 0.787155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97543 ÷ 217
    97543 ÷ 131072     		y = 0.744194030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787155151367188 × 2 - 1) × π
    0.574310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.80424903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744194030761719 × 2 - 1) × π
    -0.488388061523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.53431634613914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80424903} λ = 1.80424903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53431634613914))-π/2
    2×atan(0.215603038646452)-π/2
    2×0.212352483332351-π/2
    0.424704966664702-1.57079632675     		φ = -1.14609136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80424903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.375855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14609136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.666198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103174 KachelY 97543 1.80424903 -1.14609136 103.375855 -65.666198
    Oben rechts KachelX + 1 103175 KachelY 97543 1.80429696 -1.14609136 103.378601 -65.666198
    Unten links KachelX 103174 KachelY + 1 97544 1.80424903 -1.14611111 103.375855 -65.667329
    Unten rechts KachelX + 1 103175 KachelY + 1 97544 1.80429696 -1.14611111 103.378601 -65.667329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14609136--1.14611111) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14609136--1.14611111) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80424903-1.80429696) × cos(-1.14609136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41205197712482 × 6371000     		do = 125.825028200426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80424903-1.80429696) × cos(-1.14611111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412033981627711 × 6371000     		du = 125.819533058898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14609136)-sin(-1.14611111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41205197712482-0.412033981627711)×R²
    abs(1.80429696-1.80424903)×1.7995497108958e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7995497108958e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7995497108958e-05×40589641000000     		ar = 15831.871561008m²