Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10317 / 1817
↖ ↑ ↗
← N 80.084570°
E 46.691894°		 ← 420.72 m → N 80.084570°
E 46.713867°		 →
↑
420.80 m
↓
↑
420.80 m
↓
N 80.080785°
E 46.691894°		 ← 420.88 m →
177 074 m²		 N 80.080785°
E 46.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629730224609375 y=0.110931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629730224609375 × 214)
    floor (0.629730224609375 × 16384)
    floor (10317.5)     		tx = 10317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110931396484375 × 214)
    floor (0.110931396484375 × 16384)
    floor (1817.5)     		ty = 1817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10317 / 1817 ti = "14/10317/1817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10317/1817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10317 ÷ 214
    10317 ÷ 16384     		x = 0.62969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1817 ÷ 214
    1817 ÷ 16384     		y = 0.11090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81492729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11090087890625 × 2 - 1) × π
    0.7781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81492729} λ = 0.81492729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44478188062286))-π/2
    2×atan(11.5280348368114)-π/2
    2×1.48426787306722-π/2
    2.96853574613443-1.57079632675     		φ = 1.39773942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81492729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.691894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39773942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.084570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10317 KachelY 1817 0.81492729 1.39773942 46.691894 80.084570
    Oben rechts KachelX + 1 10318 KachelY 1817 0.81531079 1.39773942 46.713867 80.084570
    Unten links KachelX 10317 KachelY + 1 1818 0.81492729 1.39767337 46.691894 80.080785
    Unten rechts KachelX + 1 10318 KachelY + 1 1818 0.81531079 1.39767337 46.713867 80.080785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39773942-1.39767337) × R
    6.60500000000397e-05 × 6371000     		dl = 420.804550000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39773942-1.39767337) × R
    6.60500000000397e-05 × 6371000     		dr = 420.804550000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81492729-0.81531079) × cos(1.39773942) × R
    0.000383499999999981 × 0.172194394668803 × 6371000     		do = 420.718862314779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81492729-0.81531079) × cos(1.39767337) × R
    0.000383499999999981 × 0.172259457703509 × 6371000     		du = 420.877829428622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39773942)-sin(1.39767337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172194394668803-0.172259457703509)×R²
    abs(0.81531079-0.81492729)×6.50630347062142e-05×R²
    0.000383499999999981×6.50630347062142e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.50630347062142e-05×40589641000000     		ar = 177073.858639889m²