Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103163 / 97549
↖ ↑ ↗
← S 65.672987°
E103.345642°		 ← 125.82 m → S 65.672987°
E103.348389°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.674119°
E103.345642°		 ← 125.81 m →
15 831 m²		 S 65.674119°
E103.348389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787075042724609 y=0.744243621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787075042724609 × 217)
    floor (0.787075042724609 × 131072)
    floor (103163.5)     		tx = 103163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744243621826172 × 217)
    floor (0.744243621826172 × 131072)
    floor (97549.5)     		ty = 97549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103163 / 97549 ti = "17/103163/97549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103163/97549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103163 ÷ 217
    103163 ÷ 131072     		x = 0.787071228027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97549 ÷ 217
    97549 ÷ 131072     		y = 0.744239807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787071228027344 × 2 - 1) × π
    0.574142456054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.80372172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744239807128906 × 2 - 1) × π
    -0.488479614257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53460396753686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80372172} λ = 1.80372172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53460396753686))-π/2
    2×atan(0.215541035516264)-π/2
    2×0.212293233613812-π/2
    0.424586467227625-1.57079632675     		φ = -1.14620986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80372172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.345642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14620986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.672987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103163 KachelY 97549 1.80372172 -1.14620986 103.345642 -65.672987
    Oben rechts KachelX + 1 103164 KachelY 97549 1.80376966 -1.14620986 103.348389 -65.672987
    Unten links KachelX 103163 KachelY + 1 97550 1.80372172 -1.14622961 103.345642 -65.674119
    Unten rechts KachelX + 1 103164 KachelY + 1 97550 1.80376966 -1.14622961 103.348389 -65.674119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14620986--1.14622961) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14620986--1.14622961) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80372172-1.80376966) × cos(-1.14620986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411944001731522 × 6371000     		do = 125.818301567329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80372172-1.80376966) × cos(-1.14622961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		du = 125.812804984814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14620986)-sin(-1.14622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411944001731522-0.411926005270205)×R²
    abs(1.80376966-1.80372172)×1.79964613177264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79964613177264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79964613177264e-05×40589641000000     		ar = 15831.0250764836m²