Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10316 / 1972
↖ ↑ ↗
← N 79.480618°
E 46.669922°		 ← 446.05 m → N 79.480618°
E 46.691894°		 →
↑
446.10 m
↓
↑
446.10 m
↓
N 79.476606°
E 46.669922°		 ← 446.22 m →
199 021 m²		 N 79.476606°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629669189453125 y=0.120391845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629669189453125 × 214)
    floor (0.629669189453125 × 16384)
    floor (10316.5)     		tx = 10316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120391845703125 × 214)
    floor (0.120391845703125 × 16384)
    floor (1972.5)     		ty = 1972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10316 / 1972 ti = "14/10316/1972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10316/1972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10316 ÷ 214
    10316 ÷ 16384     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1972 ÷ 214
    1972 ÷ 16384     		y = 0.120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    0.75927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38534012509399))-π/2
    2×atan(10.8627567328171)-π/2
    2×1.47899740034848-π/2
    2.95799480069696-1.57079632675     		φ = 1.38719847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38719847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.480618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10316 KachelY 1972 0.81454380 1.38719847 46.669922 79.480618
    Oben rechts KachelX + 1 10317 KachelY 1972 0.81492729 1.38719847 46.691894 79.480618
    Unten links KachelX 10316 KachelY + 1 1973 0.81454380 1.38712845 46.669922 79.476606
    Unten rechts KachelX + 1 10317 KachelY + 1 1973 0.81492729 1.38712845 46.691894 79.476606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38719847-1.38712845) × R
    7.00199999998929e-05 × 6371000     		dl = 446.097419999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38719847-1.38712845) × R
    7.00199999998929e-05 × 6371000     		dr = 446.097419999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.38719847) × R
    0.000383489999999931 × 0.182568135774842 × 6371000     		do = 446.053169507743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.38712845) × R
    0.000383489999999931 × 0.182636978515362 × 6371000     		du = 446.221367109563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38719847)-sin(1.38712845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182568135774842-0.182636978515362)×R²
    abs(0.81492729-0.81454380)×6.88427405190761e-05×R²
    0.000383489999999931×6.88427405190761e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.88427405190761e-05×40589641000000     		ar = 199020.6844404m²