Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10316 / 1852
↖ ↑ ↗
← N 79.951265°
E 46.669922°		 ← 426.31 m → N 79.951265°
E 46.691894°		 →
↑
426.35 m
↓
↑
426.35 m
↓
N 79.947431°
E 46.669922°		 ← 426.47 m →
181 789 m²		 N 79.947431°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629669189453125 y=0.113067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629669189453125 × 214)
    floor (0.629669189453125 × 16384)
    floor (10316.5)     		tx = 10316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113067626953125 × 214)
    floor (0.113067626953125 × 16384)
    floor (1852.5)     		ty = 1852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10316 / 1852 ti = "14/10316/1852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10316/1852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10316 ÷ 214
    10316 ÷ 16384     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1852 ÷ 214
    1852 ÷ 16384     		y = 0.113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113037109375 × 2 - 1) × π
    0.77392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43135954872925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43135954872925))-π/2
    2×atan(11.374335536182)-π/2
    2×1.48310457542219-π/2
    2.96620915084438-1.57079632675     		φ = 1.39541282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39541282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.951265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10316 KachelY 1852 0.81454380 1.39541282 46.669922 79.951265
    Oben rechts KachelX + 1 10317 KachelY 1852 0.81492729 1.39541282 46.691894 79.951265
    Unten links KachelX 10316 KachelY + 1 1853 0.81454380 1.39534590 46.669922 79.947431
    Unten rechts KachelX + 1 10317 KachelY + 1 1853 0.81492729 1.39534590 46.691894 79.947431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39541282-1.39534590) × R
    6.69200000000814e-05 × 6371000     		dl = 426.347320000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39541282-1.39534590) × R
    6.69200000000814e-05 × 6371000     		dr = 426.347320000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.39541282) × R
    0.000383489999999931 × 0.174485774099432 × 6371000     		do = 426.306223924255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.39534590) × R
    0.000383489999999931 × 0.174551667135463 × 6371000     		du = 426.467214764444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39541282)-sin(1.39534590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174485774099432-0.174551667135463)×R²
    abs(0.81492729-0.81454380)×6.5893036030773e-05×R²
    0.000383489999999931×6.5893036030773e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.5893036030773e-05×40589641000000     		ar = 181788.83514381m²