Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10316 / 1819
↖ ↑ ↗
← N 80.077000°
E 46.669922°		 ← 421.03 m → N 80.077000°
E 46.691894°		 →
↑
421.12 m
↓
↑
421.12 m
↓
N 80.073212°
E 46.669922°		 ← 421.18 m →
177 337 m²		 N 80.073212°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629669189453125 y=0.111053466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629669189453125 × 214)
    floor (0.629669189453125 × 16384)
    floor (10316.5)     		tx = 10316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111053466796875 × 214)
    floor (0.111053466796875 × 16384)
    floor (1819.5)     		ty = 1819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10316 / 1819 ti = "14/10316/1819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10316/1819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10316 ÷ 214
    10316 ÷ 16384     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1819 ÷ 214
    1819 ÷ 16384     		y = 0.11102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11102294921875 × 2 - 1) × π
    0.7779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44401489022894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44401489022894))-π/2
    2×atan(11.5191963347872)-π/2
    2×1.48420181239146-π/2
    2.96840362478293-1.57079632675     		φ = 1.39760730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39760730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.077000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10316 KachelY 1819 0.81454380 1.39760730 46.669922 80.077000
    Oben rechts KachelX + 1 10317 KachelY 1819 0.81492729 1.39760730 46.691894 80.077000
    Unten links KachelX 10316 KachelY + 1 1820 0.81454380 1.39754120 46.669922 80.073212
    Unten rechts KachelX + 1 10317 KachelY + 1 1820 0.81492729 1.39754120 46.691894 80.073212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39760730-1.39754120) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dl = 421.123099999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39760730-1.39754120) × R
    6.60999999999579e-05 × 6371000     		dr = 421.123099999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.39760730) × R
    0.000383489999999931 × 0.17232453968752 × 6371000     		do = 421.025864044415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81492729) × cos(1.39754120) × R
    0.000383489999999931 × 0.172389650470158 × 6371000     		du = 421.184943671544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39760730)-sin(1.39754120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17232453968752-0.172389650470158)×R²
    abs(0.81492729-0.81454380)×6.5110782637573e-05×R²
    0.000383489999999931×6.5110782637573e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.5110782637573e-05×40589641000000     		ar = 177337.213162499m²