Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10315 / 1818
↖ ↑ ↗
← N 80.080785°
E 46.647949°		 ← 420.88 m → N 80.080785°
E 46.669922°		 →
↑
420.93 m
↓
↑
420.93 m
↓
N 80.077000°
E 46.647949°		 ← 421.04 m →
177 194 m²		 N 80.077000°
E 46.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629608154296875 y=0.110992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629608154296875 × 214)
    floor (0.629608154296875 × 16384)
    floor (10315.5)     		tx = 10315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110992431640625 × 214)
    floor (0.110992431640625 × 16384)
    floor (1818.5)     		ty = 1818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10315 / 1818 ti = "14/10315/1818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10315/1818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10315 ÷ 214
    10315 ÷ 16384     		x = 0.62957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1818 ÷ 214
    1818 ÷ 16384     		y = 0.1109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81416030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1109619140625 × 2 - 1) × π
    0.778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4443983854259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81416030} λ = 0.81416030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4443983854259))-π/2
    2×atan(11.5236147384186)-π/2
    2×1.48423484896815-π/2
    2.96846969793631-1.57079632675     		φ = 1.39767337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81416030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39767337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.080785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10315 KachelY 1818 0.81416030 1.39767337 46.647949 80.080785
    Oben rechts KachelX + 1 10316 KachelY 1818 0.81454380 1.39767337 46.669922 80.080785
    Unten links KachelX 10315 KachelY + 1 1819 0.81416030 1.39760730 46.647949 80.077000
    Unten rechts KachelX + 1 10316 KachelY + 1 1819 0.81454380 1.39760730 46.669922 80.077000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39767337-1.39760730) × R
    6.60699999999181e-05 × 6371000     		dl = 420.931969999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39767337-1.39760730) × R
    6.60699999999181e-05 × 6371000     		dr = 420.931969999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81416030-0.81454380) × cos(1.39767337) × R
    0.000383500000000092 × 0.172259457703509 × 6371000     		do = 420.877829428744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81416030-0.81454380) × cos(1.39760730) × R
    0.000383500000000092 × 0.17232453968752 × 6371000     		du = 421.036842841016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39767337)-sin(1.39760730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172259457703509-0.17232453968752)×R²
    abs(0.81454380-0.81416030)×6.50819840111727e-05×R²
    0.000383500000000092×6.50819840111727e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.50819840111727e-05×40589641000000     		ar = 177194.400849616m²