Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10313 / 1832
↖ ↑ ↗
← N 80.027655°
E 46.604004°		 ← 423.11 m → N 80.027655°
E 46.625977°		 →
↑
423.16 m
↓
↑
423.16 m
↓
N 80.023849°
E 46.604004°		 ← 423.27 m →
179 078 m²		 N 80.023849°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629486083984375 y=0.111846923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629486083984375 × 214)
    floor (0.629486083984375 × 16384)
    floor (10313.5)     		tx = 10313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111846923828125 × 214)
    floor (0.111846923828125 × 16384)
    floor (1832.5)     		ty = 1832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10313 / 1832 ti = "14/10313/1832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10313/1832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10313 ÷ 214
    10313 ÷ 16384     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1832 ÷ 214
    1832 ÷ 16384     		y = 0.11181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11181640625 × 2 - 1) × π
    0.7763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43902945266846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43902945266846))-π/2
    2×atan(11.4619110155544)-π/2
    2×1.48377119934915-π/2
    2.9675423986983-1.57079632675     		φ = 1.39674607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39674607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.027655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10313 KachelY 1832 0.81339331 1.39674607 46.604004 80.027655
    Oben rechts KachelX + 1 10314 KachelY 1832 0.81377681 1.39674607 46.625977 80.027655
    Unten links KachelX 10313 KachelY + 1 1833 0.81339331 1.39667965 46.604004 80.023849
    Unten rechts KachelX + 1 10314 KachelY + 1 1833 0.81377681 1.39667965 46.625977 80.023849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39674607-1.39667965) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dl = 423.161820000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39674607-1.39667965) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dr = 423.161820000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81377681) × cos(1.39674607) × R
    0.000383499999999981 × 0.173172821871163 × 6371000     		do = 423.109432462121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81377681) × cos(1.39667965) × R
    0.000383499999999981 × 0.173238237979423 × 6371000     		du = 423.269262232986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39674607)-sin(1.39667965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173172821871163-0.173238237979423)×R²
    abs(0.81377681-0.81339331)×6.54161082597471e-05×R²
    0.000383499999999981×6.54161082597471e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.54161082597471e-05×40589641000000     		ar = 179077.574494923m²