Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103125 / 99551
↖ ↑ ↗
← S 67.841381°
E103.241272°		 ← 115.20 m → S 67.841381°
E103.244019°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.842416°
E103.241272°		 ← 115.19 m →
13 269 m²		 S 67.842416°
E103.244019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786785125732422 y=0.759517669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786785125732422 × 217)
    floor (0.786785125732422 × 131072)
    floor (103125.5)     		tx = 103125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759517669677734 × 217)
    floor (0.759517669677734 × 131072)
    floor (99551.5)     		ty = 99551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103125 / 99551 ti = "17/103125/99551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103125/99551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103125 ÷ 217
    103125 ÷ 131072     		x = 0.786781311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99551 ÷ 217
    99551 ÷ 131072     		y = 0.759513854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786781311035156 × 2 - 1) × π
    0.573562622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.80190012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759513854980469 × 2 - 1) × π
    -0.519027709960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63057364057621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80190012} λ = 1.80190012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63057364057621))-π/2
    2×atan(0.195817213203584)-π/2
    2×0.193370433449722-π/2
    0.386740866899445-1.57079632675     		φ = -1.18405546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80190012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.241272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18405546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.841381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103125 KachelY 99551 1.80190012 -1.18405546 103.241272 -67.841381
    Oben rechts KachelX + 1 103126 KachelY 99551 1.80194806 -1.18405546 103.244019 -67.841381
    Unten links KachelX 103125 KachelY + 1 99552 1.80190012 -1.18407354 103.241272 -67.842416
    Unten rechts KachelX + 1 103126 KachelY + 1 99552 1.80194806 -1.18407354 103.244019 -67.842416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18405546--1.18407354) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18405546--1.18407354) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80190012-1.80194806) × cos(-1.18405546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377171999461709 × 6371000     		do = 115.198037042797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80190012-1.80194806) × cos(-1.18407354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377155254730462 × 6371000     		du = 115.192922770864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18405546)-sin(-1.18407354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377171999461709-0.377155254730462)×R²
    abs(1.80194806-1.80190012)×1.67447312470759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67447312470759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67447312470759e-05×40589641000000     		ar = 13269.100077519m²