Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103098 / 99499
↖ ↑ ↗
← S 67.787450°
E103.167114°		 ← 115.46 m → S 67.787450°
E103.169861°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.788488°
E103.167114°		 ← 115.46 m →
13 329 m²		 S 67.788488°
E103.169861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786579132080078 y=0.759120941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786579132080078 × 217)
    floor (0.786579132080078 × 131072)
    floor (103098.5)     		tx = 103098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759120941162109 × 217)
    floor (0.759120941162109 × 131072)
    floor (99499.5)     		ty = 99499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103098 / 99499 ti = "17/103098/99499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103098/99499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103098 ÷ 217
    103098 ÷ 131072     		x = 0.786575317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99499 ÷ 217
    99499 ÷ 131072     		y = 0.759117126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786575317382812 × 2 - 1) × π
    0.573150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.80060582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759117126464844 × 2 - 1) × π
    -0.518234252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62808092179597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80060582} λ = 1.80060582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62808092179597))-π/2
    2×atan(0.196305939323756)-π/2
    2×0.193841068291898-π/2
    0.387682136583796-1.57079632675     		φ = -1.18311419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80060582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.167114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18311419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.787450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103098 KachelY 99499 1.80060582 -1.18311419 103.167114 -67.787450
    Oben rechts KachelX + 1 103099 KachelY 99499 1.80065376 -1.18311419 103.169861 -67.787450
    Unten links KachelX 103098 KachelY + 1 99500 1.80060582 -1.18313231 103.167114 -67.788488
    Unten rechts KachelX + 1 103099 KachelY + 1 99500 1.80065376 -1.18313231 103.169861 -67.788488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18311419--1.18313231) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18311419--1.18313231) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80060582-1.80065376) × cos(-1.18311419) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.378043583086112 × 6371000     		do = 115.464241116786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80060582-1.80065376) × cos(-1.18313231) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.378026807749128 × 6371000     		du = 115.459117497074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18311419)-sin(-1.18313231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378043583086112-0.378026807749128)×R²
    abs(1.80065376-1.80060582)×1.67753369842982e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67753369842982e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67753369842982e-05×40589641000000     		ar = 13329.1872229657m²