Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103089 / 99512
↖ ↑ ↗
← S 67.800944°
E103.142395°		 ← 115.40 m → S 67.800944°
E103.145142°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.801982°
E103.142395°		 ← 115.39 m →
13 314 m²		 S 67.801982°
E103.145142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786510467529297 y=0.759220123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786510467529297 × 217)
    floor (0.786510467529297 × 131072)
    floor (103089.5)     		tx = 103089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759220123291016 × 217)
    floor (0.759220123291016 × 131072)
    floor (99512.5)     		ty = 99512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103089 / 99512 ti = "17/103089/99512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103089/99512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103089 ÷ 217
    103089 ÷ 131072     		x = 0.786506652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99512 ÷ 217
    99512 ÷ 131072     		y = 0.75921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786506652832031 × 2 - 1) × π
    0.573013305664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.80017439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.5184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62870410149103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80017439} λ = 1.80017439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62870410149103))-π/2
    2×atan(0.196183643558427)-π/2
    2×0.19372330772383-π/2
    0.38744661544766-1.57079632675     		φ = -1.18334971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80017439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.142395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18334971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.800944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103089 KachelY 99512 1.80017439 -1.18334971 103.142395 -67.800944
    Oben rechts KachelX + 1 103090 KachelY 99512 1.80022233 -1.18334971 103.145142 -67.800944
    Unten links KachelX 103089 KachelY + 1 99513 1.80017439 -1.18336782 103.142395 -67.801982
    Unten rechts KachelX + 1 103090 KachelY + 1 99513 1.80022233 -1.18336782 103.145142 -67.801982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18334971--1.18336782) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dl = 115.378809999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18334971--1.18336782) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dr = 115.378809999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80017439-1.80022233) × cos(-1.18334971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377825531060666 × 6371000     		do = 115.397642415021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80017439-1.80022233) × cos(-1.18336782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377808763369672 × 6371000     		du = 115.392521130591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18334971)-sin(-1.18336782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377825531060666-0.377808763369672)×R²
    abs(1.80022233-1.80017439)×1.67676909938463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67676909938463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67676909938463e-05×40589641000000     		ar = 13314.1472150588m²