Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103077 / 99685
↖ ↑ ↗
← S 67.979784°
E103.109436°		 ← 114.51 m → S 67.979784°
E103.112183°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 67.980813°
E103.109436°		 ← 114.51 m →
13 110 m²		 S 67.980813°
E103.112183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786418914794922 y=0.760540008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786418914794922 × 217)
    floor (0.786418914794922 × 131072)
    floor (103077.5)     		tx = 103077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760540008544922 × 217)
    floor (0.760540008544922 × 131072)
    floor (99685.5)     		ty = 99685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103077 / 99685 ti = "17/103077/99685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103077/99685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103077 ÷ 217
    103077 ÷ 131072     		x = 0.786415100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99685 ÷ 217
    99685 ÷ 131072     		y = 0.760536193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786415100097656 × 2 - 1) × π
    0.572830200195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.79959915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760536193847656 × 2 - 1) × π
    -0.521072387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6369971851253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79959915} λ = 1.79959915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6369971851253))-π/2
    2×atan(0.194563403872353)-π/2
    2×0.192162640275489-π/2
    0.384325280550978-1.57079632675     		φ = -1.18647105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79959915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.109436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18647105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.979784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103077 KachelY 99685 1.79959915 -1.18647105 103.109436 -67.979784
    Oben rechts KachelX + 1 103078 KachelY 99685 1.79964709 -1.18647105 103.112183 -67.979784
    Unten links KachelX 103077 KachelY + 1 99686 1.79959915 -1.18648902 103.109436 -67.980813
    Unten rechts KachelX + 1 103078 KachelY + 1 99686 1.79964709 -1.18648902 103.112183 -67.980813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18647105--1.18648902) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18647105--1.18648902) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79959915-1.79964709) × cos(-1.18647105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374933718899062 × 6371000     		do = 114.514408545623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79959915-1.79964709) × cos(-1.18648902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374917059720911 × 6371000     		du = 114.509320403808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18647105)-sin(-1.18648902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374933718899062-0.374917059720911)×R²
    abs(1.79964709-1.79959915)×1.66591781503023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66591781503023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66591781503023e-05×40589641000000     		ar = 13110.1049418855m²