Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103075 / 99676
↖ ↑ ↗
← S 67.970514°
E103.103943°		 ← 114.56 m → S 67.970514°
E103.106689°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.971544°
E103.103943°		 ← 114.56 m →
13 123 m²		 S 67.971544°
E103.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786403656005859 y=0.760471343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786403656005859 × 217)
    floor (0.786403656005859 × 131072)
    floor (103075.5)     		tx = 103075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760471343994141 × 217)
    floor (0.760471343994141 × 131072)
    floor (99676.5)     		ty = 99676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103075 / 99676 ti = "17/103075/99676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103075/99676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103075 ÷ 217
    103075 ÷ 131072     		x = 0.786399841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99676 ÷ 217
    99676 ÷ 131072     		y = 0.760467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786399841308594 × 2 - 1) × π
    0.572799682617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.79950327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.52093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63656575302872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79950327} λ = 1.79950327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63656575302872))-π/2
    2×atan(0.194647362879606)-π/2
    2×0.192243535672475-π/2
    0.38448707134495-1.57079632675     		φ = -1.18630926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79950327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.103943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18630926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.970514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103075 KachelY 99676 1.79950327 -1.18630926 103.103943 -67.970514
    Oben rechts KachelX + 1 103076 KachelY 99676 1.79955121 -1.18630926 103.106689 -67.970514
    Unten links KachelX 103075 KachelY + 1 99677 1.79950327 -1.18632724 103.103943 -67.971544
    Unten rechts KachelX + 1 103076 KachelY + 1 99677 1.79955121 -1.18632724 103.106689 -67.971544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18630926--1.18632724) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18630926--1.18632724) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79950327-1.79955121) × cos(-1.18630926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375083701672899 × 6371000     		do = 114.560217145309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79950327-1.79955121) × cos(-1.18632724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375067034315035 × 6371000     		du = 114.5551265052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18630926)-sin(-1.18632724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375083701672899-0.375067034315035)×R²
    abs(1.79955121-1.79950327)×1.66673578636534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66673578636534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66673578636534e-05×40589641000000     		ar = 13122.6477513126m²