Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10307 / 2399
↖ ↑ ↗
← N 77.622420°
E 46.472168°		 ← 523.72 m → N 77.622420°
E 46.494141°		 →
↑
523.82 m
↓
↑
523.82 m
↓
N 77.617709°
E 46.472168°		 ← 523.92 m →
274 391 m²		 N 77.617709°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629119873046875 y=0.146453857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629119873046875 × 214)
    floor (0.629119873046875 × 16384)
    floor (10307.5)     		tx = 10307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146453857421875 × 214)
    floor (0.146453857421875 × 16384)
    floor (2399.5)     		ty = 2399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10307 / 2399 ti = "14/10307/2399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10307/2399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10307 ÷ 214
    10307 ÷ 16384     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2399 ÷ 214
    2399 ÷ 16384     		y = 0.14642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14642333984375 × 2 - 1) × π
    0.7071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22158767599188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22158767599188))-π/2
    2×atan(9.22196073471994)-π/2
    2×1.46278156320227-π/2
    2.92556312640454-1.57079632675     		φ = 1.35476680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35476680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.622420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10307 KachelY 2399 0.81109234 1.35476680 46.472168 77.622420
    Oben rechts KachelX + 1 10308 KachelY 2399 0.81147584 1.35476680 46.494141 77.622420
    Unten links KachelX 10307 KachelY + 1 2400 0.81109234 1.35468458 46.472168 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 10308 KachelY + 1 2400 0.81147584 1.35468458 46.494141 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35476680-1.35468458) × R
    8.22199999999107e-05 × 6371000     		dl = 523.823619999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35476680-1.35468458) × R
    8.22199999999107e-05 × 6371000     		dr = 523.823619999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81147584) × cos(1.35476680) × R
    0.000383499999999981 × 0.214353138432745 × 6371000     		do = 523.724414540225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81147584) × cos(1.35468458) × R
    0.000383499999999981 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 523.920629771661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35476680)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214353138432745-0.214433446605324)×R²
    abs(0.81147584-0.81109234)×8.03081725790078e-05×R²
    0.000383499999999981×8.03081725790078e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.03081725790078e-05×40589641000000     		ar = 274390.609946852m²