Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103063 / 99695
↖ ↑ ↗
← S 67.990079°
E103.070984°		 ← 114.46 m → S 67.990079°
E103.073731°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.991108°
E103.070984°		 ← 114.46 m →
13 097 m²		 S 67.991108°
E103.073731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786312103271484 y=0.760616302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786312103271484 × 217)
    floor (0.786312103271484 × 131072)
    floor (103063.5)     		tx = 103063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760616302490234 × 217)
    floor (0.760616302490234 × 131072)
    floor (99695.5)     		ty = 99695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103063 / 99695 ti = "17/103063/99695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103063/99695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103063 ÷ 217
    103063 ÷ 131072     		x = 0.786308288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99695 ÷ 217
    99695 ÷ 131072     		y = 0.760612487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786308288574219 × 2 - 1) × π
    0.572616577148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.79892803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760612487792969 × 2 - 1) × π
    -0.521224975585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6374765541215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79892803} λ = 1.79892803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6374765541215))-π/2
    2×atan(0.194470158559983)-π/2
    2×0.192072794440117-π/2
    0.384145588880234-1.57079632675     		φ = -1.18665074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79892803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18665074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.990079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103063 KachelY 99695 1.79892803 -1.18665074 103.070984 -67.990079
    Oben rechts KachelX + 1 103064 KachelY 99695 1.79897597 -1.18665074 103.073731 -67.990079
    Unten links KachelX 103063 KachelY + 1 99696 1.79892803 -1.18666870 103.070984 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 103064 KachelY + 1 99696 1.79897597 -1.18666870 103.073731 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18665074--1.18666870) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18665074--1.18666870) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79892803-1.79897597) × cos(-1.18665074) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.374767130941309 × 6371000     		do = 114.463528295881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79892803-1.79897597) × cos(-1.18666870) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 114.458442616068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18665074)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374767130941309-0.37475047982404)×R²
    abs(1.79897597-1.79892803)×1.66511172693395e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66511172693395e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66511172693395e-05×40589641000000     		ar = 13096.9876528878m²