Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103061 / 99677
↖ ↑ ↗
← S 67.971544°
E103.065491°		 ← 114.56 m → S 67.971544°
E103.068238°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 67.972574°
E103.065491°		 ← 114.55 m →
13 115 m²		 S 67.972574°
E103.068238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786296844482422 y=0.760478973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786296844482422 × 217)
    floor (0.786296844482422 × 131072)
    floor (103061.5)     		tx = 103061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760478973388672 × 217)
    floor (0.760478973388672 × 131072)
    floor (99677.5)     		ty = 99677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103061 / 99677 ti = "17/103061/99677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103061/99677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103061 ÷ 217
    103061 ÷ 131072     		x = 0.786293029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99677 ÷ 217
    99677 ÷ 131072     		y = 0.760475158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786293029785156 × 2 - 1) × π
    0.572586059570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.79883216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760475158691406 × 2 - 1) × π
    -0.520950317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63661368992834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79883216} λ = 1.79883216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63661368992834))-π/2
    2×atan(0.194638032312152)-π/2
    2×0.192234545697242-π/2
    0.384469091394483-1.57079632675     		φ = -1.18632724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79883216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.065491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18632724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.971544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103061 KachelY 99677 1.79883216 -1.18632724 103.065491 -67.971544
    Oben rechts KachelX + 1 103062 KachelY 99677 1.79888010 -1.18632724 103.068238 -67.971544
    Unten links KachelX 103061 KachelY + 1 99678 1.79883216 -1.18634521 103.065491 -67.972574
    Unten rechts KachelX + 1 103062 KachelY + 1 99678 1.79888010 -1.18634521 103.068238 -67.972574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18632724--1.18634521) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18632724--1.18634521) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79883216-1.79888010) × cos(-1.18632724) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375067034315035 × 6371000     		do = 114.55512650573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79883216-1.79888010) × cos(-1.18634521) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375050376105964 × 6371000     		du = 114.550038659898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18632724)-sin(-1.18634521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375067034315035-0.375050376105964)×R²
    abs(1.79888010-1.79883216)×1.66582090712075e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66582090712075e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66582090712075e-05×40589641000000     		ar = 13114.7666306883m²