Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103061 / 99339
↖ ↑ ↗
← S 67.620727°
E103.065491°		 ← 116.29 m → S 67.620727°
E103.068238°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
S 67.621772°
E103.065491°		 ← 116.28 m →
13 520 m²		 S 67.621772°
E103.068238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786296844482422 y=0.757900238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786296844482422 × 217)
    floor (0.786296844482422 × 131072)
    floor (103061.5)     		tx = 103061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757900238037109 × 217)
    floor (0.757900238037109 × 131072)
    floor (99339.5)     		ty = 99339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103061 / 99339 ti = "17/103061/99339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103061/99339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103061 ÷ 217
    103061 ÷ 131072     		x = 0.786293029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99339 ÷ 217
    99339 ÷ 131072     		y = 0.757896423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786293029785156 × 2 - 1) × π
    0.572586059570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.79883216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757896423339844 × 2 - 1) × π
    -0.515792846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62041101785676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79883216} λ = 1.79883216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62041101785676))-π/2
    2×atan(0.197817375898248)-π/2
    2×0.195296004655066-π/2
    0.390592009310132-1.57079632675     		φ = -1.18020432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79883216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.065491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18020432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.620727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103061 KachelY 99339 1.79883216 -1.18020432 103.065491 -67.620727
    Oben rechts KachelX + 1 103062 KachelY 99339 1.79888010 -1.18020432 103.068238 -67.620727
    Unten links KachelX 103061 KachelY + 1 99340 1.79883216 -1.18022257 103.065491 -67.621772
    Unten rechts KachelX + 1 103062 KachelY + 1 99340 1.79888010 -1.18022257 103.068238 -67.621772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18020432--1.18022257) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dl = 116.270749999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18020432--1.18022257) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dr = 116.270749999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79883216-1.79888010) × cos(-1.18020432) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380735900916571 × 6371000     		do = 116.286544282473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79883216-1.79888010) × cos(-1.18022257) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380719025373386 × 6371000     		du = 116.281390057207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18020432)-sin(-1.18022257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380735900916571-0.380719025373386)×R²
    abs(1.79888010-1.79883216)×1.68755431853573e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68755431853573e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68755431853573e-05×40589641000000     		ar = 13520.4240760385m²