Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10306 / 1826
↖ ↑ ↗
← N 80.050460°
E 46.450196°		 ← 422.14 m → N 80.050460°
E 46.472168°		 →
↑
422.27 m
↓
↑
422.27 m
↓
N 80.046662°
E 46.450196°		 ← 422.30 m →
178 291 m²		 N 80.046662°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629058837890625 y=0.111480712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629058837890625 × 214)
    floor (0.629058837890625 × 16384)
    floor (10306.5)     		tx = 10306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111480712890625 × 214)
    floor (0.111480712890625 × 16384)
    floor (1826.5)     		ty = 1826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10306 / 1826 ti = "14/10306/1826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10306/1826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10306 ÷ 214
    10306 ÷ 16384     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1826 ÷ 214
    1826 ÷ 16384     		y = 0.1114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1114501953125 × 2 - 1) × π
    0.777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44133042385022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44133042385022))-π/2
    2×atan(11.4883149081375)-π/2
    2×1.48397020659706-π/2
    2.96794041319412-1.57079632675     		φ = 1.39714409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39714409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.050460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10306 KachelY 1826 0.81070885 1.39714409 46.450196 80.050460
    Oben rechts KachelX + 1 10307 KachelY 1826 0.81109234 1.39714409 46.472168 80.050460
    Unten links KachelX 10306 KachelY + 1 1827 0.81070885 1.39707781 46.450196 80.046662
    Unten rechts KachelX + 1 10307 KachelY + 1 1827 0.81109234 1.39707781 46.472168 80.046662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39714409-1.39707781) × R
    6.62799999999741e-05 × 6371000     		dl = 422.269879999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39714409-1.39707781) × R
    6.62799999999741e-05 × 6371000     		dr = 422.269879999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81109234) × cos(1.39714409) × R
    0.000383489999999931 × 0.172780801668464 × 6371000     		do = 422.140610064372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81109234) × cos(1.39707781) × R
    0.000383489999999931 × 0.172846084457651 × 6371000     		du = 422.300109940447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39714409)-sin(1.39707781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172780801668464-0.172846084457651)×R²
    abs(0.81109234-0.81070885)×6.52827891870766e-05×R²
    0.000383489999999931×6.52827891870766e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.52827891870766e-05×40589641000000     		ar = 178290.940817846m²