Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103056 / 99351
↖ ↑ ↗
← S 67.633271°
E103.051758°		 ← 116.22 m → S 67.633271°
E103.054504°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
S 67.634317°
E103.051758°		 ← 116.22 m →
13 513 m²		 S 67.634317°
E103.054504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786258697509766 y=0.757991790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786258697509766 × 217)
    floor (0.786258697509766 × 131072)
    floor (103056.5)     		tx = 103056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757991790771484 × 217)
    floor (0.757991790771484 × 131072)
    floor (99351.5)     		ty = 99351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103056 / 99351 ti = "17/103056/99351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103056/99351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103056 ÷ 217
    103056 ÷ 131072     		x = 0.7862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99351 ÷ 217
    99351 ÷ 131072     		y = 0.757987976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7862548828125 × 2 - 1) × π
    0.572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79859247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757987976074219 × 2 - 1) × π
    -0.515975952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6209862606522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79859247} λ = 1.79859247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6209862606522))-π/2
    2×atan(0.197703615600982)-π/2
    2×0.195186525982692-π/2
    0.390373051965384-1.57079632675     		φ = -1.18042327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79859247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18042327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.633271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103056 KachelY 99351 1.79859247 -1.18042327 103.051758 -67.633271
    Oben rechts KachelX + 1 103057 KachelY 99351 1.79864041 -1.18042327 103.054504 -67.633271
    Unten links KachelX 103056 KachelY + 1 99352 1.79859247 -1.18044152 103.051758 -67.634317
    Unten rechts KachelX + 1 103057 KachelY + 1 99352 1.79864041 -1.18044152 103.054504 -67.634317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18042327--1.18044152) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dl = 116.270750000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18042327--1.18044152) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dr = 116.270750000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79859247-1.79864041) × cos(-1.18042327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380533432268928 × 6371000     		do = 116.224705145401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79859247-1.79864041) × cos(-1.18044152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380516555204822 × 6371000     		du = 116.219550455607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18042327)-sin(-1.18044152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380533432268928-0.380516555204822)×R²
    abs(1.79864041-1.79859247)×1.687706410608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.687706410608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.687706410608e-05×40589641000000     		ar = 13513.233966404m²