Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103054 / 99348
↖ ↑ ↗
← S 67.630136°
E103.046265°		 ← 116.24 m → S 67.630136°
E103.049011°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.631181°
E103.046265°		 ← 116.24 m →
13 508 m²		 S 67.631181°
E103.049011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786243438720703 y=0.757968902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786243438720703 × 217)
    floor (0.786243438720703 × 131072)
    floor (103054.5)     		tx = 103054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757968902587891 × 217)
    floor (0.757968902587891 × 131072)
    floor (99348.5)     		ty = 99348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103054 / 99348 ti = "17/103054/99348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103054/99348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103054 ÷ 217
    103054 ÷ 131072     		x = 0.786239624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99348 ÷ 217
    99348 ÷ 131072     		y = 0.757965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786239624023438 × 2 - 1) × π
    0.572479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79849660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.51593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62084244995334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79849660} λ = 1.79849660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62084244995334))-π/2
    2×atan(0.197732049540612)-π/2
    2×0.195213890191336-π/2
    0.390427780382672-1.57079632675     		φ = -1.18036855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79849660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.046265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18036855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.630136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103054 KachelY 99348 1.79849660 -1.18036855 103.046265 -67.630136
    Oben rechts KachelX + 1 103055 KachelY 99348 1.79854454 -1.18036855 103.049011 -67.630136
    Unten links KachelX 103054 KachelY + 1 99349 1.79849660 -1.18038679 103.046265 -67.631181
    Unten rechts KachelX + 1 103055 KachelY + 1 99349 1.79854454 -1.18038679 103.049011 -67.631181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18036855--1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18036855--1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79849660-1.79854454) × cos(-1.18036855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380584034958385 × 6371000     		do = 116.240160509274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79849660-1.79854454) × cos(-1.18038679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380567167521844 × 6371000     		du = 116.235008759987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18036855)-sin(-1.18038679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380584034958385-0.380567167521844)×R²
    abs(1.79854454-1.79849660)×1.68674365403354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68674365403354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68674365403354e-05×40589641000000     		ar = 13507.6256474049m²