Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10305 / 18494
↖ ↑ ↗
← N 61.444020°
W123.392944°		 ← 291.97 m → N 61.444020°
W123.387451°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 61.441394°
W123.392944°		 ← 291.99 m →
85 253 m²		 N 61.441394°
W123.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157249450683594 y=0.282203674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157249450683594 × 216)
    floor (0.157249450683594 × 65536)
    floor (10305.5)     		tx = 10305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282203674316406 × 216)
    floor (0.282203674316406 × 65536)
    floor (18494.5)     		ty = 18494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10305 / 18494 ti = "16/10305/18494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10305/18494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10305 ÷ 216
    10305 ÷ 65536     		x = 0.157241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18494 ÷ 216
    18494 ÷ 65536     		y = 0.282196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.685516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15361315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282196044921875 × 2 - 1) × π
    0.43560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.36850261035336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15361315} λ = -2.15361315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36850261035336))-π/2
    2×atan(3.92946235175587)-π/2
    2×1.32159838713617-π/2
    2.64319677427234-1.57079632675     		φ = 1.07240045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15361315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.392944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07240045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.444020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10305 KachelY 18494 -2.15361315 1.07240045 -123.392944 61.444020
    Oben rechts KachelX + 1 10306 KachelY 18494 -2.15351728 1.07240045 -123.387451 61.444020
    Unten links KachelX 10305 KachelY + 1 18495 -2.15361315 1.07235462 -123.392944 61.441394
    Unten rechts KachelX + 1 10306 KachelY + 1 18495 -2.15351728 1.07235462 -123.387451 61.441394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07240045-1.07235462) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dl = 291.982929999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07240045-1.07235462) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dr = 291.982929999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15361315--2.15351728) × cos(1.07240045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478017171824556 × 6371000     		do = 291.967042400421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15361315--2.15351728) × cos(1.07235462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478057426125492 × 6371000     		du = 291.991629235123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07240045)-sin(1.07235462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478017171824556-0.478057426125492)×R²
    abs(-2.15351728--2.15361315)×4.02543009356826e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02543009356826e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02543009356826e-05×40589641000000     		ar = 85252.9819864208m²