Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103048 / 99336
↖ ↑ ↗
← S 67.617589°
E103.029785°		 ← 116.30 m → S 67.617589°
E103.032532°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
S 67.618635°
E103.029785°		 ← 116.30 m →
13 522 m²		 S 67.618635°
E103.032532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786197662353516 y=0.757877349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786197662353516 × 217)
    floor (0.786197662353516 × 131072)
    floor (103048.5)     		tx = 103048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757877349853516 × 217)
    floor (0.757877349853516 × 131072)
    floor (99336.5)     		ty = 99336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103048 / 99336 ti = "17/103048/99336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103048/99336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103048 ÷ 217
    103048 ÷ 131072     		x = 0.78619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99336 ÷ 217
    99336 ÷ 131072     		y = 0.75787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78619384765625 × 2 - 1) × π
    0.5723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79820898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.5157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79820898} λ = 1.79820898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6202672071579))-π/2
    2×atan(0.197845826199002)-π/2
    2×0.195323383423582-π/2
    0.390646766847164-1.57079632675     		φ = -1.18014956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79820898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18014956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.617589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103048 KachelY 99336 1.79820898 -1.18014956 103.029785 -67.617589
    Oben rechts KachelX + 1 103049 KachelY 99336 1.79825692 -1.18014956 103.032532 -67.617589
    Unten links KachelX 103048 KachelY + 1 99337 1.79820898 -1.18016781 103.029785 -67.618635
    Unten rechts KachelX + 1 103049 KachelY + 1 99337 1.79825692 -1.18016781 103.032532 -67.618635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18014956--1.18016781) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dl = 116.270749999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18014956--1.18016781) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dr = 116.270749999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79820898-1.79825692) × cos(-1.18014956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		do = 116.302009549498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79820898-1.79825692) × cos(-1.18016781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380769660869209 × 6371000     		du = 116.296855440451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18014956)-sin(-1.18016781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380786536031881-0.380769660869209)×R²
    abs(1.79825692-1.79820898)×1.68751626724029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68751626724029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68751626724029e-05×40589641000000     		ar = 13522.2222410493m²