Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103045 / 99973
↖ ↑ ↗
← S 68.274471°
E103.021546°		 ← 113.03 m → S 68.274471°
E103.024292°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 68.275487°
E103.021546°		 ← 113.03 m →
12 775 m²		 S 68.275487°
E103.024292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786174774169922 y=0.762737274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786174774169922 × 217)
    floor (0.786174774169922 × 131072)
    floor (103045.5)     		tx = 103045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762737274169922 × 217)
    floor (0.762737274169922 × 131072)
    floor (99973.5)     		ty = 99973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103045 / 99973 ti = "17/103045/99973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103045/99973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103045 ÷ 217
    103045 ÷ 131072     		x = 0.786170959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99973 ÷ 217
    99973 ÷ 131072     		y = 0.762733459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786170959472656 × 2 - 1) × π
    0.572341918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.79806517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762733459472656 × 2 - 1) × π
    -0.525466918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65080301221587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79806517} λ = 1.79806517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65080301221587))-π/2
    2×atan(0.191895752101142)-π/2
    2×0.189591008546144-π/2
    0.379182017092289-1.57079632675     		φ = -1.19161431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79806517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.021546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19161431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.274471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103045 KachelY 99973 1.79806517 -1.19161431 103.021546 -68.274471
    Oben rechts KachelX + 1 103046 KachelY 99973 1.79811310 -1.19161431 103.024292 -68.274471
    Unten links KachelX 103045 KachelY + 1 99974 1.79806517 -1.19163205 103.021546 -68.275487
    Unten rechts KachelX + 1 103046 KachelY + 1 99974 1.79811310 -1.19163205 103.024292 -68.275487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19161431--1.19163205) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dl = 113.021539999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19161431--1.19163205) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dr = 113.021539999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79806517-1.79811310) × cos(-1.19161431) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.370160713331827 × 6371000     		do = 113.0330268488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79806517-1.79811310) × cos(-1.19163205) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.370144233386024 × 6371000     		du = 113.027994499096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19161431)-sin(-1.19163205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370160713331827-0.370144233386024)×R²
    abs(1.79811310-1.79806517)×1.64799458033382e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.64799458033382e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.64799458033382e-05×40589641000000     		ar = 12774.8823836031m²