Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10304 / 6080
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W123.398438°		 ← 94 m → N 81.147481°
W123.392944°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 81.146635°
W123.398438°		 ← 94.01 m →
8 840 m²		 N 81.146635°
W123.392944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157234191894531 y=0.0927810668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157234191894531 × 216)
    floor (0.157234191894531 × 65536)
    floor (10304.5)     		tx = 10304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927810668945312 × 216)
    floor (0.0927810668945312 × 65536)
    floor (6080.5)     		ty = 6080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10304 / 6080 ti = "16/10304/6080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10304/6080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10304 ÷ 216
    10304 ÷ 65536     		x = 0.1572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6080 ÷ 216
    6080 ÷ 65536     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    -0.685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15370903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15370903} λ = -2.15370903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15370903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10304 KachelY 6080 -2.15370903 1.41629072 -123.398438 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 10305 KachelY 6080 -2.15361315 1.41629072 -123.392944 81.147481
    Unten links KachelX 10304 KachelY + 1 6081 -2.15370903 1.41627596 -123.398438 81.146635
    Unten rechts KachelX + 1 10305 KachelY + 1 6081 -2.15361315 1.41627596 -123.392944 81.146635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41627596) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41627596) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15370903--2.15361315) × cos(1.41629072) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 94.004920328119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15370903--2.15361315) × cos(1.41627596) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153906198414711 × 6371000     		du = 94.0138290827385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41627596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.153906198414711)×R²
    abs(-2.15361315--2.15370903)×1.45841581973838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45841581973838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45841581973838e-05×40589641000000     		ar = 8840.26179972483m²