Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10304 / 18495
↖ ↑ ↗
← N 61.441394°
W123.398438°		 ← 292.02 m → N 61.441394°
W123.392944°		 →
↑
292.05 m
↓
↑
292.05 m
↓
N 61.438767°
W123.398438°		 ← 292.05 m →
85 288 m²		 N 61.438767°
W123.392944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157234191894531 y=0.282218933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157234191894531 × 216)
    floor (0.157234191894531 × 65536)
    floor (10304.5)     		tx = 10304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282218933105469 × 216)
    floor (0.282218933105469 × 65536)
    floor (18495.5)     		ty = 18495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10304 / 18495 ti = "16/10304/18495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10304/18495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10304 ÷ 216
    10304 ÷ 65536     		x = 0.1572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18495 ÷ 216
    18495 ÷ 65536     		y = 0.282211303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    -0.685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15370903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282211303710938 × 2 - 1) × π
    0.435577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36840673655412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15370903} λ = -2.15370903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36840673655412))-π/2
    2×atan(3.92908563733005)-π/2
    2×1.32157547151003-π/2
    2.64315094302006-1.57079632675     		φ = 1.07235462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15370903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07235462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.441394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10304 KachelY 18495 -2.15370903 1.07235462 -123.398438 61.441394
    Oben rechts KachelX + 1 10305 KachelY 18495 -2.15361315 1.07235462 -123.392944 61.441394
    Unten links KachelX 10304 KachelY + 1 18496 -2.15370903 1.07230878 -123.398438 61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 10305 KachelY + 1 18496 -2.15361315 1.07230878 -123.392944 61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07235462-1.07230878) × R
    4.58400000000747e-05 × 6371000     		dl = 292.046640000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07235462-1.07230878) × R
    4.58400000000747e-05 × 6371000     		dr = 292.046640000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15370903--2.15361315) × cos(1.07235462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.478057426125492 × 6371000     		do = 292.022086273556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15370903--2.15361315) × cos(1.07230878) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 292.046680424648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07235462)-sin(1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478057426125492-0.478097688205388)×R²
    abs(-2.15361315--2.15370903)×4.02620798959918e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.02620798959918e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.02620798959918e-05×40589641000000     		ar = 85287.6604365467m²