Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10304 / 1814
↖ ↑ ↗
← N 80.095914°
E 46.406250°		 ← 420.23 m → N 80.095914°
E 46.428223°		 →
↑
420.29 m
↓
↑
420.29 m
↓
N 80.092134°
E 46.406250°		 ← 420.39 m →
176 654 m²		 N 80.092134°
E 46.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628936767578125 y=0.110748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628936767578125 × 214)
    floor (0.628936767578125 × 16384)
    floor (10304.5)     		tx = 10304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110748291015625 × 214)
    floor (0.110748291015625 × 16384)
    floor (1814.5)     		ty = 1814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10304 / 1814 ti = "14/10304/1814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10304/1814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10304 ÷ 214
    10304 ÷ 16384     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1814 ÷ 214
    1814 ÷ 16384     		y = 0.1107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1107177734375 × 2 - 1) × π
    0.778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44593236621375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44593236621375))-π/2
    2×atan(11.541305307061)-π/2
    2×1.48436687054434-π/2
    2.96873374108867-1.57079632675     		φ = 1.39793741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39793741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.095914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10304 KachelY 1814 0.80994186 1.39793741 46.406250 80.095914
    Oben rechts KachelX + 1 10305 KachelY 1814 0.81032535 1.39793741 46.428223 80.095914
    Unten links KachelX 10304 KachelY + 1 1815 0.80994186 1.39787144 46.406250 80.092134
    Unten rechts KachelX + 1 10305 KachelY + 1 1815 0.81032535 1.39787144 46.428223 80.092134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39793741-1.39787144) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dl = 420.294869999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39793741-1.39787144) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dr = 420.294869999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81032535) × cos(1.39793741) × R
    0.000383490000000042 × 0.171999358674057 × 6371000     		do = 420.231376983018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81032535) × cos(1.39787144) × R
    0.000383490000000042 × 0.172064345152885 × 6371000     		du = 420.390152909238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39793741)-sin(1.39787144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171999358674057-0.172064345152885)×R²
    abs(0.81032535-0.80994186)×6.49864788270782e-05×R²
    0.000383490000000042×6.49864788270782e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.49864788270782e-05×40589641000000     		ar = 176654.458375134m²