Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10303 / 1815
↖ ↑ ↗
← N 80.092134°
E 46.384277°		 ← 420.40 m → N 80.092134°
E 46.406250°		 →
↑
420.49 m
↓
↑
420.49 m
↓
N 80.088352°
E 46.384277°		 ← 420.56 m →
176 806 m²		 N 80.088352°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628875732421875 y=0.110809326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628875732421875 × 214)
    floor (0.628875732421875 × 16384)
    floor (10303.5)     		tx = 10303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110809326171875 × 214)
    floor (0.110809326171875 × 16384)
    floor (1815.5)     		ty = 1815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10303 / 1815 ti = "14/10303/1815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10303/1815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10303 ÷ 214
    10303 ÷ 16384     		x = 0.62884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1815 ÷ 214
    1815 ÷ 16384     		y = 0.11077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11077880859375 × 2 - 1) × π
    0.7784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44554887101678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80955836} λ = 0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44554887101678))-π/2
    2×atan(11.5368801204822)-π/2
    2×1.48433388385074-π/2
    2.96866776770148-1.57079632675     		φ = 1.39787144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39787144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.092134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10303 KachelY 1815 0.80955836 1.39787144 46.384277 80.092134
    Oben rechts KachelX + 1 10304 KachelY 1815 0.80994186 1.39787144 46.406250 80.092134
    Unten links KachelX 10303 KachelY + 1 1816 0.80955836 1.39780544 46.384277 80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 10304 KachelY + 1 1816 0.80994186 1.39780544 46.406250 80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39787144-1.39780544) × R
    6.60000000001215e-05 × 6371000     		dl = 420.486000000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39787144-1.39780544) × R
    6.60000000001215e-05 × 6371000     		dr = 420.486000000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80955836-0.80994186) × cos(1.39787144) × R
    0.000383499999999981 × 0.172064345152885 × 6371000     		do = 420.401115128601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80955836-0.80994186) × cos(1.39780544) × R
    0.000383499999999981 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 420.559965569838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39787144)-sin(1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172064345152885-0.172129360435112)×R²
    abs(0.80994186-0.80955836)×6.50152822269934e-05×R²
    0.000383499999999981×6.50152822269934e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.50152822269934e-05×40589641000000     		ar = 176806.180554714m²