Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103028 / 99317
↖ ↑ ↗
← S 67.597709°
E102.974853°		 ← 116.40 m → S 67.597709°
E102.977600°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.598756°
E102.974853°		 ← 116.39 m →
13 548 m²		 S 67.598756°
E102.977600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786045074462891 y=0.757732391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786045074462891 × 217)
    floor (0.786045074462891 × 131072)
    floor (103028.5)     		tx = 103028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757732391357422 × 217)
    floor (0.757732391357422 × 131072)
    floor (99317.5)     		ty = 99317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103028 / 99317 ti = "17/103028/99317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103028/99317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103028 ÷ 217
    103028 ÷ 131072     		x = 0.786041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99317 ÷ 217
    99317 ÷ 131072     		y = 0.757728576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786041259765625 × 2 - 1) × π
    0.57208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79725024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757728576660156 × 2 - 1) × π
    -0.515457153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61935640606512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79725024} λ = 1.79725024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61935640606512))-π/2
    2×atan(0.198026106480982)-π/2
    2×0.195496866858929-π/2
    0.390993733717858-1.57079632675     		φ = -1.17980259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79725024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17980259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.597709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103028 KachelY 99317 1.79725024 -1.17980259 102.974853 -67.597709
    Oben rechts KachelX + 1 103029 KachelY 99317 1.79729818 -1.17980259 102.977600 -67.597709
    Unten links KachelX 103028 KachelY + 1 99318 1.79725024 -1.17982086 102.974853 -67.598756
    Unten rechts KachelX + 1 103029 KachelY + 1 99318 1.79729818 -1.17982086 102.977600 -67.598756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17980259--1.17982086) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17980259--1.17982086) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79725024-1.79729818) × cos(-1.17980259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381107343416151 × 6371000     		do = 116.399992382236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79725024-1.79729818) × cos(-1.17982086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381090452174903 × 6371000     		du = 116.394833362378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17980259)-sin(-1.17982086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381107343416151-0.381090452174903)×R²
    abs(1.79729818-1.79725024)×1.68912412478184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68912412478184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68912412478184e-05×40589641000000     		ar = 13548.4458513016m²