Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103027 / 99319
↖ ↑ ↗
← S 67.599803°
E102.972107°		 ← 116.39 m → S 67.599803°
E102.974853°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.600849°
E102.972107°		 ← 116.38 m →
13 547 m²		 S 67.600849°
E102.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786037445068359 y=0.757747650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786037445068359 × 217)
    floor (0.786037445068359 × 131072)
    floor (103027.5)     		tx = 103027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757747650146484 × 217)
    floor (0.757747650146484 × 131072)
    floor (99319.5)     		ty = 99319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103027 / 99319 ti = "17/103027/99319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103027/99319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103027 ÷ 217
    103027 ÷ 131072     		x = 0.786033630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99319 ÷ 217
    99319 ÷ 131072     		y = 0.757743835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786033630371094 × 2 - 1) × π
    0.572067260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.79720230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757743835449219 × 2 - 1) × π
    -0.515487670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61945227986436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79720230} λ = 1.79720230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61945227986436))-π/2
    2×atan(0.198007121875883)-π/2
    2×0.195478598564251-π/2
    0.390957197128502-1.57079632675     		φ = -1.17983913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79720230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.972107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17983913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.599803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103027 KachelY 99319 1.79720230 -1.17983913 102.972107 -67.599803
    Oben rechts KachelX + 1 103028 KachelY 99319 1.79725024 -1.17983913 102.974853 -67.599803
    Unten links KachelX 103027 KachelY + 1 99320 1.79720230 -1.17985740 102.972107 -67.600849
    Unten rechts KachelX + 1 103028 KachelY + 1 99320 1.79725024 -1.17985740 102.974853 -67.600849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17983913--1.17985740) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17983913--1.17985740) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79720230-1.79725024) × cos(-1.17983913) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38107356080645 × 6371000     		do = 116.389674304208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79720230-1.79725024) × cos(-1.17985740) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.381056669310797 × 6371000     		du = 116.384515206648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17983913)-sin(-1.17985740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38107356080645-0.381056669310797)×R²
    abs(1.79725024-1.79720230)×1.68914956528154e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68914956528154e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68914956528154e-05×40589641000000     		ar = 13547.2448415703m²