Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103023 / 99408
↖ ↑ ↗
← S 67.692771°
E102.961121°		 ← 115.91 m → S 67.692771°
E102.963867°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.693814°
E102.961121°		 ← 115.90 m →
13 439 m²		 S 67.693814°
E102.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786006927490234 y=0.758426666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786006927490234 × 217)
    floor (0.786006927490234 × 131072)
    floor (103023.5)     		tx = 103023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758426666259766 × 217)
    floor (0.758426666259766 × 131072)
    floor (99408.5)     		ty = 99408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103023 / 99408 ti = "17/103023/99408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103023/99408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103023 ÷ 217
    103023 ÷ 131072     		x = 0.786003112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99408 ÷ 217
    99408 ÷ 131072     		y = 0.7584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786003112792969 × 2 - 1) × π
    0.572006225585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.79701056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79701056} λ = 1.79701056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62371866393054))-π/2
    2×atan(0.197164146952166)-π/2
    2×0.194667296963142-π/2
    0.389334593926285-1.57079632675     		φ = -1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79701056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103023 KachelY 99408 1.79701056 -1.18146173 102.961121 -67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 103024 KachelY 99408 1.79705849 -1.18146173 102.963867 -67.692771
    Unten links KachelX 103023 KachelY + 1 99409 1.79701056 -1.18147993 102.961121 -67.693814
    Unten rechts KachelX + 1 103024 KachelY + 1 99409 1.79705849 -1.18147993 102.963867 -67.693814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18146173--1.18147993) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18146173--1.18147993) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79701056-1.79705849) × cos(-1.18146173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 115.907149307271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79701056-1.79705849) × cos(-1.18147993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379556055541103 × 6371000     		du = 115.902007618895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18146173)-sin(-1.18147993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379556055541103)×R²
    abs(1.79705849-1.79701056)×1.68380082367081e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68380082367081e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68380082367081e-05×40589641000000     		ar = 13439.3908630944m²