Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103021 / 99997
↖ ↑ ↗
← S 68.298858°
E102.955627°		 ← 112.94 m → S 68.298858°
E102.958374°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.299873°
E102.955627°		 ← 112.93 m →
12 750 m²		 S 68.299873°
E102.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785991668701172 y=0.762920379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785991668701172 × 217)
    floor (0.785991668701172 × 131072)
    floor (103021.5)     		tx = 103021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762920379638672 × 217)
    floor (0.762920379638672 × 131072)
    floor (99997.5)     		ty = 99997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103021 / 99997 ti = "17/103021/99997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103021/99997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103021 ÷ 217
    103021 ÷ 131072     		x = 0.785987854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99997 ÷ 217
    99997 ÷ 131072     		y = 0.762916564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785987854003906 × 2 - 1) × π
    0.571975708007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.79691468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762916564941406 × 2 - 1) × π
    -0.525833129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65195349780676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79691468} λ = 1.79691468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65195349780676))-π/2
    2×atan(0.191675105752958)-π/2
    2×0.189378190015566-π/2
    0.378756380031132-1.57079632675     		φ = -1.19203995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79691468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.955627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19203995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.298858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103021 KachelY 99997 1.79691468 -1.19203995 102.955627 -68.298858
    Oben rechts KachelX + 1 103022 KachelY 99997 1.79696262 -1.19203995 102.958374 -68.298858
    Unten links KachelX 103021 KachelY + 1 99998 1.79691468 -1.19205767 102.955627 -68.299873
    Unten rechts KachelX + 1 103022 KachelY + 1 99998 1.79696262 -1.19205767 102.958374 -68.299873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19203995--1.19205767) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19203995--1.19205767) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79691468-1.79696262) × cos(-1.19203995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369765273987601 × 6371000     		do = 112.935832433892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79691468-1.79696262) × cos(-1.19205767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369748809830958 × 6371000     		du = 112.930803856666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19203995)-sin(-1.19205767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369765273987601-0.369748809830958)×R²
    abs(1.79696262-1.79691468)×1.64641566425261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64641566425261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64641566425261e-05×40589641000000     		ar = 12749.5075708816m²